浙江省浙大附中玉泉校区2022-2023学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x}}$ ， $B = {x | x^{2} < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $（ - \infty ， 1]$ B、 $[0 ， \sqrt{3}]$ C、 $(- \sqrt{3} ， 1]$ D、 $[1 ， \sqrt{3})$

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2. 设复数z满足 $(1 - i) z = 1 + i$ ，则 $| z | - i$ 在复平面内对应的点在第几象限（）

A、一 B、二 C、三 D、四

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3. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2}$ ， $3 a_{5}$ ， $9 a_{8}$ 成等差数列，则 $\frac{S_{6}}{S_{3}} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、4

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5. 若函数 $y = s i n (π x - \frac{π}{6})$ 在 $[0 ， m]$ 上单调递增，则 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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6. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.甲､乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛球､游泳､射击､体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（）

A、6种 B、60种 C、36种 D、24种

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7. 已知拋物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，准线为l，点A在C上， $A B ⊥ l$ 于点B，若 $∠ F A B = \frac{2 π}{3}$ ，则 $| B F | =$ （）

A、 $\frac{16}{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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8. 已知 $a - 4 = l n \frac{a}{4}$ ， $b - 3 = l n \frac{b}{3}$ ， $c - 2 = l n \frac{c}{2}$ ，其中 $a \neq 4$ ， $b \neq 3$ ， $c \neq 2$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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二、多选题

9. 已知m，n是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的为（）

A、若 $m / / α ， n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β ， m \subset α ， n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α / / β ， m ⊥ α ， n ∥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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10. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} + 4 x - 1 = 0$ ，点 $P (a ， b)$ 是圆 $M$ 上的动点，则（）

A、圆 $M$ 关于直线 $x + 3 y + 2 = 0$ 对称 B、直线 $x + y = 0$ 与圆 $M$ 相交所得弦长为 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{b}{a - 3}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\sqrt{5} - 2$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的极小值为2 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、点 $(1 ， 2)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、直线 $y = - 3 x + 5$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 8$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = {\begin{array}{l} - a_{n} ， n 为偶数 \\ a_{n} - 2 ， n 为奇数 \end{array}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则下列说法正确的有（）

A、n为偶数时， $a_{n} = {(- 1)}^{\frac{n - 2}{2}}$ B、 $T_{2 n} = - n^{2} + 9 n$ C、 $T_{99} = - 2049$ D、 $T_{n}$ 的最大值为20

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三、填空题

13. $(x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})^{6}$ 展开式中的常数项为．

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14. 圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为 $\frac{500 π}{3}$ 的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $\forall n \in N^{*} ， S_{n} \geq S_{3}$ ，则 $\frac{a_{6}}{a_{5}}$ 的取值范围为.

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16. 若对任意正实数x，y都有 $(2 y - \frac{x}{e}) (l n x - l n y) - \frac{y}{m} \leq 0$ ，则实数m的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，记 $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ，函数 $f (x) = m a x {| x + 1 | ， | x - 2 |} (x \in R)$ .

(1)、写出 $f (x)$ 的解析式，并求出 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $g (x) = x^{2} - k f (x)$ 在 $(- \infty ， - 1]$ 上是单调函数，求 $k$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x - \frac{1}{2} c o s 2 x - 1$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值和最小正周期；

(2)、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c = 3$ ， $f (C) = 0$ ，若向量 $\vec{m} = (1 ， s i n A)$ 与 $\vec{n} = (2 ， s i n B)$ 共线，求a，b的值.

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19. 在① $a_{n} = 2 n - 1 ， 3 b_{n} = 2 T_{n} + 3$ ；② $2 S_{n} = n^{2} + a_{n} ， b_{n} = a_{2 n} S_{n}$ 这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.
已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和是 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和是 $T_{n}$ ， ____.

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $R_{n}$ ，求 $R_{n}$ .

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20. 如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA＝PB＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AB，∠ABC＝60°，E为AB的中点．

(1)、证明：CE⊥PA；

(2)、若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°，求平面EFC与平面PBC夹角的余弦值．

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21. 已知 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ 平面内一动点 $P$ 满足 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{3}{4}$ ．

(1)、求 $P$ 点运动轨迹 $C$ 的轨迹方程；

(2)、已知直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，当 $P$ 点坐标为 $(1 ， \frac{3}{2})$ 时， $k_{P M} + k_{P N} = 0$ 恒成立，试探究直线 $l$ 的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{- x} + x - 2$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上的值域；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} < 0$ ，证明： $0 < a < 2$ 且 $x_{1} + x_{2} > 2 l n a$ .

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