浙江省浙大附中丁兰校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3}$

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2. $(x - 2) (x + 2) > 0$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \leq 0$ B、 $x \geq 0$ C、 $x ≥ 3$ D、 $x > 2$ 或 $x < - 2$

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3. 在 $△ A B C$ 中，点D满足 $\vec{B C} = 2 \vec{C D}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{3}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ C、 $\frac{3}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{3}{2} \vec{A B}$

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4. 已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（）

A、1 B、2 C、4 D、5

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5. 在直角坐标系中，若角 $α$ 的终边绕原点O逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到角 $θ$ .已知角 $θ$ 的终边经过 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} + 3}{10}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ C、 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$

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6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）

A、 $40 \sqrt{2}$ 海里 B、 $40 \sqrt{3}$ 海里 C、 $80 \sqrt{3}$ 海里 D、 $80 \sqrt{2}$ 海里

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7. 函数 $f (x) = a s i n x + \sqrt{3} c o s x$ ，将 $f (x)$ 图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像，若 $g (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则a的值为（）

A、-1 B、 $\pm 1$ C、-2 D、 $\pm 2$

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8. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{4 x}{1 + x^{2}} ， x \geq 0 \\ - \frac{4}{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (x) = t$ 有三个不同的解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $- \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}}$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(\frac{5}{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， λ)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $λ = 0$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ B、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ = - \frac{1}{2}$ C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ < 2$ D、若 $λ = - 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{3}{5} \vec{b}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 一定是钝角三角形 B、若 $s i n A > s i n B$ ，则 $a > b$ C、若 $a c o s A = b c o s B$ 中，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > s i n B$

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11. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 上一点， $B E = 2 E C$ ， $F$ 是 $C D$ 的中点，且 $A E = 2$ ， $A F = 3$ ， $∠ E A F = 6 0^{∘}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\vec{A F}$ 在 $\vec{A E}$ 上的投影向量是 $\frac{3}{4} \vec{A E}$ C、 $\vec{A C} = \frac{3}{4} \vec{A E} + \frac{1}{2} \vec{A F}$ D、 $| \vec{A C} | = \sqrt{7}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $∠ A B C$ 的平分线交AC于点D，且 $B D = \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、ac的最小值是2 B、 $a + 2 c$ 的最小值是 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、b的最小值是4 D、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$ 的最小值是 $\frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足 $L = 5 + 1 g V$ ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为．（精确到0.1）（参考数据： $\sqrt[10]{10} \approx 1.259$ ）

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14. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图像如图所示，则 $f (\frac{π}{6}) =$ .

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15. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (x + 2) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = x (x - 2)$ ，若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{3}{2}$ ，则m的取值范围是.

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16. 已知奇函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) - c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上有2个最值点和1个零点，则 $ω$ 的范围是.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角.

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18. 在① $a s i n B - \sqrt{3} b c o s A = 0$ ；② ${(s i n B - s i n C)}^{2} = s i n^{2} A - s i n B s i n C$ ；③ $2 c o s A (c c o s B + b c o s C) = a$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.问题： $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足____.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，且 $s i n C = 2 s i n B$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 设函数 $f (x) = 2 a^{x} - 2 a^{- x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (1) = 3$ ，函数 $g (x) = a^{2 x} + a^{- 2 x} - 2 f (x)$ ， $x \in [0 ， 3]$ ，求 $g (x)$ 的最小值.

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x - c o s^{2} ω x (ω > 0)$ 的图象相邻对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - b$ ，且 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，求 $b$ 的取值范围.

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21. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形， $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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22. 如图.某小区有一块空地 $△ A B C$ ，其中 $A B = 5$ 米， $A C = 5$ 米， $A B ⊥ A C$ ，小区物业拟在中间挖个小池塘 $△ A E F$ ， $E$ 、 $F$ 在边 $B C$ 上（ $E$ 、 $F$ 不与 $B$ 、 $C$ 重合，且 $E$ 在 $B$ 、 $F$ 之间），且 $∠ E A F = \frac{π}{4}$ ，设 $∠ E A B = θ$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{6}$ ，求 $E F$ 的值；

(2)、为节省投入资金，小池塘 $△ A E F$ 的面积需要尽可能的小，试确定 $θ$ 的值，使得 $△ A E F$ 的面积取最小值，并求出 $△ A E F$ 面积的最小值.

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