浙江省浙大附中丁兰校区2022-2023学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-04-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} x < 0} ， B = {y | | y - 1 | < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(- \infty ， 3)$

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2. 若复数z满足 $z - i = \frac{z}{i}$ （i为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 已知单位向量 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 满足 $| \vec{O A} + \vec{O B} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O B}$ B、 $\vec{O B}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{O B}$ D、 $- \vec{O B}$

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4. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都相等，M为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则AM与 $B C_{1}$ 所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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5. 已知 $y = f (x)$ 为奇函数， $y = f (x + 1)$ 为偶函数，若当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = l o g_{2} (x + a)$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为 $100 π$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{175 π}{3}$ B、 $75 π$ C、 $\frac{238 π}{3}$ D、 $\frac{259 π}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x - c o s ω x (ω > 0)$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有 $2$ 个零点和 $2$ 条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{6} ， \frac{13}{12})$ B、 $(\frac{5}{6} ， \frac{13}{12}]$ C、 $(\frac{5}{3} ， \frac{13}{6}]$ D、 $(\frac{5}{3} ， \frac{13}{6})$

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8. $a = \sqrt{2} ， b = 3^{\frac{1}{3}} ， c = e^{\frac{1}{e}}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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二、多选题

9. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 1$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 4$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $l o g_{2} a + l o g_{2} b \leq - 2$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$

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10. 已知直线 $l ： m x + y + 2 m - 3 = 0 (m \in R)$ 与圆 $C ： (x + 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 12$ 交于A､B两点，则下列说法正确的有（）

A、直线l过定点 $(- 2 ， 3)$ B、当 $| A B |$ 取得最小值时， $m = - 1$ C、当 $∠ A C B$ 取得最小值时，其余弦值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最大值为24

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} - 2^{n} ， n 为奇数 \\ a_{n} + 2^{n + 1} ， n 为偶数 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{3} = 7$ B、 $a_{2022} = a_{2}$ C、 $a_{2023} = 2^{2023}$ D、 $3 S_{2 n + 1} = 2^{2 n + 3} - 6 n - 5$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为3，点 $M$ 是侧面 $A D D^{'} A^{'}$ 上的一个动点（含边界），点 $P$ 在棱 $C C^{'}$ 上，且 $| P C^{'} | = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、沿正方体的表面从点 $A$ 到点 $P$ 的最短路程为 $2 \sqrt{10}$ B、 $B D^{'} ⊥$ 平面 $A^{'} C^{'} D$ C、若保持 $| P M | = \sqrt{13}$ ，则点 $M$ 的运动轨迹长度为 $\frac{4}{3} π$ D、三棱锥 $B^{'} - A C D^{'}$ 外接球的半径为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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三、填空题

13. 已知二项式 ${(a x + 1)}^{3} (a \in R)$ 的展开式所有项的系数之和为 $8$ ，则 ${(x^{2} - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{10}$ 的展开式中的常数项为.

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14. 浙大附中高二年级某班元旦活动有唱歌､跳舞､小品､相声､朗诵､游戏六个节目制成一个节目单，其中游戏不安排在第一个，唱歌和跳舞相邻，则不同的节目单顺序有种（结果用数字作答）

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15. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 7)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $F_{2}$ 是抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，若P是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，且 $| P F_{1} | = 8$ ，则 $c o s ∠ P F_{1} F_{2}$ 的值为.

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16. 若直线 $y = k_{1} (x + 1) - 1$ 与曲线 $y = e^{x}$ 相切，直线 $y = k_{2} (x + 1) - 1$ 与曲线 $y = l n x$ 相切，则 $k_{1} k_{2}$ 的值为.

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四、解答题

17. 如图，在平面四边形ABCD中， $∠ B C D = \frac{π}{2} ， A B = 1 ， ∠ A B C = \frac{3 π}{4}$ .

(1)、当 $B C = \sqrt{2} ， C D = \sqrt{7}$ 时，求 $△ A C D$ 的面积.

(2)、当 $∠ A D C = \frac{π}{6} ， A D = 2$ 时，求 $t a n ∠ A C B$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{1}{2} S_{n} + 1 = a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使得这 $(n + 2)$ 数依次组成公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 ${\frac{1}{d_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 2 f (- x) + 3 x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的方程 $| f (x) | = k | x^{2} - x - 1 |$ 恰有四个不同的实根，求实数k的取值范围．

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20. 如图，将长方形 $O A A_{1} O_{1}$ （及其内部）绕 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，其中 $O A = 1 ， O_{1} O = 2$ ，劣弧 $A_{1} B_{1}$ 的长为 $\frac{π}{6} ， A B$ 为圆 $O$ 的直径.

(1)、在弧 $A B$ 上是否存在点 $C$ （ $C ， B_{1}$ 在平面 $O A A_{1} O_{1}$ 的同侧），使 $B C ⊥ A B_{1}$ ，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；

(2)、求平面 $A_{1} O_{1} B$ 与平面 $B_{1} O_{1} B$ 夹角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，其左焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为 $\frac{1}{20}$ ，证明：直线PQ过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + 1}$ ， $g (x) = (1 - x) e^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $m \in (0 ， 1)$ 时， $y = g (x) - m$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，
①证明： $x_{1} + x_{2} < 0$ ；
②设函数 $y = f (x) + m - 2$ 的两个零点 $x_{3}$ ， $x_{4}$ 且 $x_{3} < x_{4}$ ，证明： $x_{2} + x_{3} > 0$ ．

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