江苏省泰州市兴化市2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2023-04-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 一个不透明的布袋里装有2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列函数中是二次函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $y = 2 x + 1$ C、 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x^{3}$ D、 $y = - 4 x^{2} + 5$

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3. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $s i n A = \frac{B C}{A B}$ B、 $c o s A = \frac{B C}{A C}$ C、 $t a n C = \frac{A B}{B C}$ D、 $c o s C = \frac{A C}{B C}$

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4. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（　　）

A、（4，0） B、（6，0） C、（8，0） D、（10，0）

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5. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（）

A、35° B、55° C、65° D、70°

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6. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点C处，图中阴影部分的面积为（）

A、 $3 π - 3 \sqrt{3}$ B、 $3 π - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $2 π - 3 \sqrt{3}$ D、 $6 π - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

7. 已知一组数据2、-2、6、4、-1，这组数据的极差是

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8. “同时抛掷两枚普通的骰子，向上一面的点数之和为13”是（选填“必然事件”，“不可能事件”，或“随机事件”）.

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9. 已知m是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的一个根，则 $2 m^{2} + 4 m$ 的值是.

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10. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B ＝ 90^{°}$ ，点 $D$ 是边 $A B$ 上的一点， $C D ⊥ A B$ 于 $D ， A D ＝ 2 ， B D ＝ 6$ ，则边 $A C$ 的长为.

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11. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 $r = 5 cm$ ，该圆锥的母线长 $l = 12 cm$ ，则扇形的圆心角 $θ$ 度数为.

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12. 如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点， $D E ∥ B C$ ， $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}$ .若DE＝2，则BC的长是.

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13. 中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1， $α$ 为直角三角形中的较大锐角，则tan $α$ =.

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14. 如图， $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $Δ A B C$ 的内切圆半径为．

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15. 抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的顶点D在直线 $y = 3 x + 1$ 上运动，顶点运动时抛物线也随之运动，抛物线与直线 $x = - 5$ 相交于点Q，则点Q纵坐标的最大值为.

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16. 如图，平面直角坐标系中，点D在直线 $x = 3$ 上，点E为x轴上任意一点，点 $F (6 ， 2 \sqrt{3})$ ，若 $△ D E F$ 为正三角形时，则点D的坐标为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $c o s 30 ° t a n 60 ° - 2 s i n 45 °$ ；

(2)、解方程： $3 x^{2} - 1 = - 2 x$ .

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18. 某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了“A：非常了解”“B：比较了解”“C：基本了解”“D：不太了解”四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数直方图，根据以上信息回答下列问题：
等级
频数
频率
A
20
0.4
B
15
b
C
10
0.2
D
a
0.1

(1)、频数分布表中a＝ ▲ ， b＝ ▲ ，将频数分布直方图补充完整；

(2)、若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有多少人？

(3)、在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有3个学生，其中2男1女，计划在这3个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中有一个女生的概率.

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19. 我县某校七（2）班组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩（10分制）如下表（单位：分）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9

(1)、甲队成绩的中位数是，乙队成绩的众数是；

(2)、计算乙队成绩的平均数和方差；

(3)、已知甲队成绩的方差是1.4，哪一队的成绩较为整齐？

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20. 有长为 $30 m$ 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 $10 m$ ），围成中间隔有一道篱笆（平行于 $A B$ ）的矩形花圃，设花圃的一边 $A B$ 为 $x (m)$ ，面积为 $y (m^{2})$ .

(1)、用含有x的代数式表示y；

(2)、如果要围成面积为 $63 m^{2}$ 的花圃， $A B$ 的长是多少？

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21. 如图，已知点 $B (- 3 ， 6)$ ， $C (- 3 ， 0)$ ，以坐标原点O为位似中心，在第四象限将 $△ O B C$ 缩小为原来的三分之一（即新图形与原图形的相似比为 $1 ： 3$ ）.

(1)、画出缩小后的图形；

(2)、写出B点的对应点坐标；

(3)、如果 $△ O B C$ 内部一点M的坐标为 $(x ， y)$ ，写出点M经位似变换后的对应点坐标.

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22. 如图，已知矩形 $A B C D$ 中.

(1)、请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分 $∠ B E D$ ，（不写画法，保留画图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下若 $A D = 10$ ， $A B = 6$ ，求出 $t a n ∠ B E C$ 的值.

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23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量 $A B$ ， $C D$ 两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在 $A B$ ， $C D$ 两楼之间上方的点 $O$ 处，点 $O$ 距地面 $A C$ 的高度为 $66 m$ ，此时观测到楼 $A B$ 底部点 $A$ 处的俯角为 $70 °$ ，楼 $C D$ 上点 $E$ 处的俯角为 $30 °$ ，沿水平方向由点 $O$ 飞行 $24 m$ 到达点 $F$ ，测得点 $E$ 处俯角为 $60 °$ ，其中点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $O$ 均在同一平面内.

(1)、求 $E F$ 的长；

(2)、求楼 $A B$ 与 $C D$ 之间的距离 $A C$ 的长.（参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94$ ， $c o s 70 ° \approx 0.34$ ， $t a n 70 ° \approx 2.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）.

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24. 如图，点 $B$ 是 $△ A C D$ 边 $A C$ 上的一点，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交边 $A D$ 、 $C D$ 于点 $F$ 、 $E$ .
给出下列信息：
① $A E$ 平分 $∠ C A D$ ；
② $C D ⊥ A D$ ；
③直线 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线.

(1)、请在上述 $3$ 条信息中，选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题.你选择的条件是 ▲ 、 ▲ ，结论是 ▲ （只要填写序号），并说明理由.

(2)、在（1）的情况下，若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $t a n ∠ E A D = \frac{3}{4}$ ，求 $E D$ 的长.

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），点C是直线 $y = x + b (b > 0)$ 上的一个动点.

(1)、求该抛物线的对称轴.

(2)、若点C是抛物线的顶点，且 $c - b = \frac{3}{4}$ ，求a.

(3)、已知 $c = 0$ ， a为大于0的常数，抛物线上有两点M、N，且 $∠ M B N = 90 °$ ，连接 $M N$ 交y轴于点Q，点Q的位置是否发生变化，若不变，请求出Q点坐标；若变化，请说明理由.

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26. 如图，已知 $⊙ O$ 的半径为1，P是平面内一点.

(1)、如图①，若 $O P = 2$ ，过点P作 $⊙ O$ 的两条切线 $P E$ 、 $P F$ ，切点分别为E、F，连接 $E F$ .则 $∠ E P O =$ $°$ ， $E F =$ .

(2)、若点M、N是 $⊙ O$ 上两点，且存在 $∠ M P N = 90 °$ ，则规定点P为 $⊙ O$ 的“直角点”.
①如图②，已知平面内有一点D， $O D = \sqrt{2}$ ，试说明点D是 $⊙ O$ 的“直角点”.
②如图③，直线 $y = \frac{2}{3} x - 2$ 分别与x轴、y轴相交于点A、B，若线段 $A B$ 上所有点都是半径为r的圆的“直角点”，求r的最小值与该圆心的坐标.

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等级	频数	频率
A	20	0.4
B	15	b
C	10	0.2
D	a	0.1

甲	7	8	9	7	10	10	9	10	10	10
乙	10	8	7	9	8	10	10	9	10	9