浙教版数学八年级下学期常考题微专题训练11 一元二次方程根的判别式及其应用

试卷更新日期：2023-04-18 类型：复习试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 若一元二次方程 $x^{2} + 2 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、2 D、4

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2. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的值可能是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 下列关于 $x$ 的一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）

A、 $x^{2} + 1 = 0$ B、 $x^{2} - x + 2 = 0$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ D、 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$

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4. 下列方程有两个相等的实数根的是（）

A、x²+5x﹣6＝0 B、x²﹣5x+6＝0 C、x²﹣6x+9＝0 D、x²+6x﹣9＝0

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5. 若关于x的方程(m－1)x²＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、m＜ B、m＞ C、m＞且m≠1 D、m≠1

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6. 已知方程□x²-4x+2=0，在□中添加一个合适的数字．使该方程有两个不相等的实数根．则添加的数字可以是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 若t是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b²-4ac和完全平方式M=（2at+b）²的关系是（）

A、△=M B、△＞M C、△＜M D、大小关系不能确定

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8. 如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)满足16a-4b+c=0，那么我们称这个方程为“百叶龙”方程，已知ax²+bx+c=0是“百叶龙”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）

A、4a=b=c B、4a=2b=c C、8a=2b=c D、16a=2b=c

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9. 已知关于x的方程（x-1）[（k-1）x+（k-3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）

A、方程一定有两个不相等的实数根 B、方程一定有两个实数根 C、当k取某些值时，方程没有实数根 D、方程一定有实数根

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10. 定义：cx²+bx+a＝0是一元二次方程ax²+bx+c＝0的倒方程，下列四个结论中，错误的是（）

A、如果x＝2是x²+2x+c＝0的倒方程的解，则c＝ $- \frac{5}{4}$ B、如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根 C、如果一元二次方程ax²-2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解 D、如果一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根

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二、填空题（每题3分，共21分）

11. 关于x的方程x²-10x+m= 0有两个相等的实数根，则m的值是

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12. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + c = 0$ 有两个不相等的实数根，请你写出一个满足条件的 $c$ 值.

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13. 已知关于 x 的一元二次方程 k²x² - (2k +1)x +1 = 0 有两个实数根，则 k 的取值范围是

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14. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x (a x - 4) - x^{2} + 6 = 0$ 没有实数根，那么 $a$ 的最小整数值是.

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15. 若关于x的一元二次方程 $m x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的整数 $m$ 的值.

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16. 对于实数 $m$ ， $n$ ，定义一种运算 $*$ 为： $m * n = m n + n .$ 如果关于 $x$ 的方程 $x * (a * x) = - \frac{1}{4}$ 有两个相等的实数根，则 $a =$ .

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17. 已知关于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b²－4ac≥0；②若方程ax²＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax²＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax²＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．

其中正确的是． (填写序号)

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三、解答题（共7题，共69分）

18. 关于x的方程x²-2.x+2m-1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根.

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19. 已知：关于x的方程kx²-（4k-3）x＋3k-3＝0

(1)、若x＝-1是该方程的一个根，求k的值；

(2)、求证：无论k取何值，方程都有实根；

(3)、若方程的两个实根均为正整数，求整数k的值.

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20. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 10 = 0$ 的两实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、已知等腰 $△ A B C$ 的一边长为 $7$ ，若 $x_{1} ， x_{2}$ 恰好是 $△ A B C$ 另外两边的边长，求m的值和 $△ A B C$ 的周长.

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21. 已知：关于x的一元二次方程x²-（m+1）x+m＝0.

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程有一根为-3，求m的值，并求另一根；

(3)、若方程两根为x₁ ， x₂ ，且满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - \frac{1}{2}$ ，求m的值.

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22. 已知 $△ A B C$ 的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (n - 1) x + n^{2} - 2 n = 0$ 的两个根，第三边BC的长是10.

(1)、求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根.

(2)、当n为何值时， $△ A B C$ 为等腰三角形？并求 $△ A B C$ 的周长.

(3)、当n为何值时， $△ A B C$ 是以BC为斜边的直角三角形？

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23. 定义，若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ （ $x_{1} \leq x_{2}$ ），分别以 $x_{1} ， x_{2}$ 为横坐标和纵坐标得到点 $M (x_{1} ， x_{2})$ ，则称点M为该一元二次方程的的衍生点.

(1)、若方程为 $x^{2} - 3 x = 0$ ，写出该方程的的衍生点M的坐标.

(2)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} - (5 m + 1) x + 5 m = 1$ 的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值.

(3)、是否存在b，c，使得不论k（ $k \neq 0$ ）为何值，关于x的方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的衍生点M始终在直线 $y = k x + 2 (k + 3)$ 的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由.

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24. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ $\sqrt{2}$ c，这时我们把关于x的形如ax²+ $\sqrt{2}$ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：

(1)、试判断方程 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 是否为 “勾系一元二次方程”；

(2)、求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+ $\sqrt{2}$ cx+b＝0必有实数根；

(3)、若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax²+ $\sqrt{2}$ cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．

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