浙教版数学八年级下学期常考题微专题训练9 公式法解一元二次方程

试卷更新日期：2023-04-18 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如果一元二次方程x²+px+q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）

A、p²-4q≥0 B、p²-4q≤0 C、p²-4q>0 D、p²-4q<0

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2. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + m - 3 = 0$ 有两个负整数根，则符合条件的所有正整数m的和为（）

A、16 B、13 C、10 D、7

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3. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，且 $\sqrt{{(a - 1)}^{2}} + \sqrt{{(b - 1)}^{2}} = 3$ ，b²+a=4，则b的值为（）

A、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ 或 $\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{- 5 + \sqrt{5}}{2}$

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4. 已知方程（1） $a x^{2} + b x + c = 0$ 与方程（2） $c x^{2} + b x + a = 0$ ，其中ac≠0，a≠c.下列说法：①当方程（1）有两个不相等的实数根时，方程（2）也有两个不相等的实数根；②当两个方程均存在实数根时，它们的根一定相同；③当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1；④当方程（1）有一个根是2时，方程（2）也有一个根是 $\frac{1}{2}$ .其中正确的是（）.

A、①② B、①③ C、①③④ D、②③④

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5. 已知：关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - 2 (a - 1) x + a - 2 = 0 (a > 0)$ ，设方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2} ($ 其中 $x_{1} > x_{2})$ ，若 $y$ 是关于 $a$ 的函数，且 $y = x_{1} - a x_{2}$ ，若 $y > 0$ ，则（）

A、 $a < 3$ B、 $a > 3$ C、 $0 < a < 1$ D、 $3 > a > 0$

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6. 如图，若将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的长方形，设 $a = 1$ ，则b的值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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7. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 $\dots \dots$ ，第 $n$ 行有 $n$ 个点 $\dots \dots$ ，前 $n$ 行的点数和不能是以下哪个结果（）

A、741 B、600 C、465 D、300

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8. 一个三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 $x^{2} - 16 x + 60 - 0$ 的一个实数根，则该三角形的面积是（）

A、24 B、24或 $8 \sqrt{5}$ C、48 D、 $8 \sqrt{5}$

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9. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；
③若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个很，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；
④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a_{x} + b)}^{2}$ .
其中正确的（）

A、①② B、①②④ C、①②③④ D、①②③

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10. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（）个.
①方程x²+5x+6＝0是倍根方程：
②若pq＝2，则关于x的方程px²+4x+q＝0是倍根方程；
③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m²+15mn+2n²＝0；
④若方程ax²+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax²+bx+c＝0的一个根为1

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 已知x²-2 $\sqrt{5}$ x+1=0，则x- $\frac{1}{x}$ =。

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12. 用公式法解一元二次方程，得x= $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \times 3 \times 1}}{2 \times 3}$ ，则该一元二次方程是。

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13. 已知二次多项式x2-ax+a-5

(1)、当x=1时，该多项式的值为；

(2)、若关于x的方程x²-ax+a-5=0，有两个不相等的整数根，则正数a的值为。

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14. 商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得 $\frac{b - a}{c - a} = \frac{3 c - 3 a}{b - c}$ ，据此可得，最佳利好系数k的值等于．

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三、计算题

15. 解下列一元二次方程：

(1)、3x²＝9x

(2)、x²－4x－1＝0

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16. 解方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 6 x + 2 = 0$ ．

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17. 用公式法解方程

(1)、x²+4x-1=0

(2)、5x²- $\sqrt{5}$ x-6=0

(3)、 $\frac{1}{2}$ x²-2x-6=0

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18. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 15 = 0$

(2)、 $2 x^{2} - \sqrt{2} x - 1 = 0$

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四、综合题

19. 用公式法解方程2x²+7x-4=0，并用根与系数的关系检验所求的根是否正确.

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20. 已知关于x的一元二次方程（m-1）x²-2mx+m+1=0

(1)、求出方程的根；

(2)、当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

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21. 已知：关于x的方程kx²-（4k-3）x＋3k-3＝0

(1)、若x＝-1是该方程的一个根，求k的值；

(2)、求证：无论k取何值，方程都有实根；

(3)、若方程的两个实根均为正整数，求整数k的值.

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22. 已知关于x的一元二次方程：x²-（2k＋1）x＋4（k － $\frac{1}{2}$ ）＝0.

(1)、求证：这个方程总有两个实数根；

(2)、若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长.

(3)、若方程的两个实数根之差等于3，求k的值.

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