浙教版数学八年级下学期常考题微专题训练4 二次根式的加减法

试卷更新日期：2023-04-18 类型：复习试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. $\sqrt{2}$ 的倒数是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、4 $\sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 1$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = 5$ C、2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{2}$ D、3 $+ 2 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $3 + \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ D、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} =$ 1 B、 $\frac{6 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} =$ 3 $\sqrt{2}$ C、（2 $+ \sqrt{5}$ ）（2 $- \sqrt{5}$ ）＝1 D、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$

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5. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\sqrt{0.3}$

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6. 下列二次根式，化简后能与 $2 \sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{0.3}$ D、 $\sqrt{12}$

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7. 化简＝（）

A、2 B、 C、6 D、

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8. 若最简二次根式 $\sqrt{1 + 2 a}$ 与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、4 C、-1 D、1

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9. 对于无理数 $\sqrt{3}$ ，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（）

A、 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{3}$ C、( $\sqrt{3}$ )³ D、0× $\sqrt{3}$

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10. 设a= $6 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ，b= $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ，c= $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、b>c>a B、b>a>c C、c>a>b D、a>c>b

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二、填空题（每空3分，懂24分）

11. 若 $\sqrt{10}$ 的小数部分是 $a$ ，则 $\frac{1}{a + 3}$ 的值是．

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12. 比较大小. $5 \sqrt{6}$ $6 \sqrt{5}$ ； $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ (填“＞，＜”或“=)

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13. 一个三角形的三边长分别为 $\sqrt{12} c m ， \sqrt{27} c m$ 和 $\sqrt{48} c m$ ，则这个三角形的周长是 $cm$

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14. 若长方形的长和宽分别是 $\sqrt{125}$ cm和 $\sqrt{20}$ cm，则这个长方形的周长为cm．

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15. 若最简二次根式 $\sqrt{2 x + 3}$ 与 $\sqrt{4 x - 5}$ 能合并，则x的值是

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16. 若一个二次根式与 $\sqrt{12}$ 的积为有理数，则这个二次根式可以是

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17. 化简题中，有四个同学的解法如下：
① $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{3 (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$

② $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{2} ；$

③ $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(a - b) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \sqrt{a} - \sqrt{b} ；$

④ $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} .$

他们的解法，正确的是．（填序号）

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三、计算题（共5题，共36分）

18. 计算： $\sqrt{12} - \sqrt{3} + 6 \sqrt{\frac{1}{3}}$

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19. 计算：

(1)、 $\sqrt{12} + \sqrt{5} \times \sqrt{15}$ ；

(2)、 $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ．

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20. 计算：

(1)、 $\sqrt{27} - \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}$

(2)、 ${(\sqrt{7} - 1)}^{0} + (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$

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21. 计算：

(1)、 ${(\sqrt{16})}^{2} - \sqrt{25} + \sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ；

(2)、 $(\sqrt{48} - \sqrt{27}) \div \sqrt{3}$ .

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22. 计算

(1)、 $3 \sqrt{12} - \sqrt{3} + 3 \sqrt{\frac{1}{3}}$

(2)、 $(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - 1)^{2}$

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四、解答题（共3题，共30分）

23. 阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵ $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$
∴ $. a - 1 = \sqrt{2}$ ，
∴ $a^{2} - 2 a = 1$ ，
∴ $3 a^{2} - 6 a = 3 ， 3 a^{2} - 6 a - 1 = 2$ .
任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 $∵ a = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ，求 $2 a^{2} - 12 a + 1$ 的值.

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24. 阅读下面问题：
$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ；

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；

$\frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2)} = \sqrt{5} - 2$ .

试求：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ 的值；

(2)、 $\frac{1}{3 \sqrt{2} + \sqrt{17}}$ 的值；

(3)、 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}} (n$ 为正整数 $)$ 的值.

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25. 定义：我们将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 与 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 称为一对“对偶式”，因为 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$
$= {(\sqrt{a})}^{2} - {(\sqrt{b})}^{2} = a - b$ ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}$ .像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

(1)、对偶式 $2 + \sqrt{3}$ 与 $2 - \sqrt{3}$ 之间的关系为____.

A、互为相反数 B、互为倒数 C、绝对值相等 D、没有任何关系

(2)、已知 $x = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ ，求 $\frac{x - y}{x^{2} y + x y^{2}}$ 的值.

(3)、解方程： $\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x} = 2$ （提示：利用“对偶式”相关知识，令 $\sqrt{24 - x} + \sqrt{8 - x} = t$ ）.

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