浙教版数学八年级下学期常考题微专题训练2 二次根式的性质

试卷更新日期：2023-04-18 类型：复习试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列根式为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ D、 $\sqrt{12}$

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2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{20}$ C、 $\sqrt{22}$ D、 $\sqrt{24}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、(－)²＝3 B、－＝3 C、(－)²＝3 D、(－)²＝－9

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4. 已知n是一个正整数，若 $\sqrt{135 n}$ 是整数，则n的最小值是（）

A、3 B、5 C、15 D、25

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5. 化简 $\sqrt{20}$ 的结果是（）

A、2 $\sqrt{10}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、4 $\sqrt{5}$ D、10 $\sqrt{2}$

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6. 若 $Δ A B C$ 三边长 $a ， b ， c$ 满足 $\sqrt{a + b - 25} + | b - a - 1 | + {(c - 5)}^{2} = 0$ ，则 $Δ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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7. 当a=5时，二次根式 $\sqrt{4 + a}$ 的值是（）

A、3 B、2 C、1 D、-1

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8. 若 $\sqrt{{(2 + x)}^{2}} = - x - 2$ 成立，则 $x$ 满足的条件是（）

A、 $x > 2$ B、 $x < - 2$ C、 $x \geq - 2$ D、 $x ≤ - 2$

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9. $\sqrt{a^{2} + 2 a + 1}$ -2的最小值是（）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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10. 已知：a、b、c是△ABC的三边，化简 $\sqrt{{(a - b + c)}^{2}} + \sqrt{{(a - b - c)}^{2}}$ =（）

A、2a-2b B、2b-2a C、2c D、-2c

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二、填空题（每空3分，共24分）

11. 若a是正整数， $\sqrt{3 a + 6}$ 是最简二次根式，则a的最小值为

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12. 化简 $\sqrt{45}$ 的结果是

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13. $\sqrt{20}$ 、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ 、 $\sqrt{\frac{1}{a}}$ 、 $- \sqrt{0.1}$ 、 $\sqrt{x^{3}}$ 中，是最简二次根式的是.

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14. 已知等腰三角形ABC的两边满足 $\sqrt{A B - 3} + | 6 - B C | = 0$ ，则此三角形的周长为.

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15. 已知y＝ $\sqrt{2 x - 1} - \sqrt{1 - 2 x}$ +8x，则 $\sqrt{4 x + 5 y - 6}$ 的平方根为

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16. 若实数a、b满足等式|a﹣3|+ $\sqrt{b - 6}$ ＝0，且a、b恰好是等腰三角形△ABC的边长，则这个等腰三角形的周长是 .

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17. 已知n是一个正整数， $\sqrt{12 n}$ 是整数，则n的最小值是.

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18. 当a＝1＋ $\sqrt{2}$ ，b＝ $\sqrt{3}$ 时，a²＋b²－2a＋1＝．

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三、解答题（共6题，共66分）

19. 在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}}$ ，其中 $x = 9$ .

小明同学是这样计算的：

解： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}} = x - 1 + x - 10 = 2 x - 11$ .

当 $x = 9$ 时，原式 $= 2 \times 9 - 11 = 7$ .

小荣同学是这样计算的：

解： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}} = x - 1 + 10 - x = 9$ .

聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？

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20. 已知 $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ .求：

(1)、 $x + y$ 和 $x y$ 的值；

(2)、求 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值.

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21.

(1)、已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 $| a | - \sqrt{{(a + c)}^{2}} + \sqrt{{(c - a)}^{2}} - \sqrt{b^{2}}$ ；

(2)、已知a，b满足 $\sqrt{4 a - b + 1} + {(a + 2 b + 7)}^{2} = 0$ ，求 $2 a \sqrt{\frac{b}{a}} \cdot \sqrt{- b}$ 的值.

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22. 有这样一类题目：将 $\sqrt{a + 2 \sqrt{b}}$ 化简，若你能找到两个数 $m$ 和 $n$ ，使 $m^{2} + n^{2} = a$ 且 $m n = \sqrt{b}$ ，则 $a + 2 \sqrt{b}$ 可变为 $m^{2} + n^{2} + 2 m n$ ，即变成 ${(m + n)}^{2}$ ，从而使得 $\sqrt{a + 2 \sqrt{b}}$ 化简.
例如： $∵ 5 + 2 \sqrt{6} = 3 + 2 + 2 \sqrt{6} = {(\sqrt{3})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \sqrt{6} = {(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}$

$∴ \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{{(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

请你仿照上例将下列各式化简：

(1)、 $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ ；

(2)、 $\sqrt{7 - 2 \sqrt{10}}$ .

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23. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3 + 2 \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ，善于思考的小明进行了以下探索：
若设 $a + b \sqrt{2} = {(m + n \sqrt{2})}^{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$ （其中 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 均为整数），则有 $a = m^{2} + 2 n^{2}$ ， $b = 2 m n$ .这样小明就找到了一种把类似 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、若 $a + b \sqrt{7} = {(m + n \sqrt{7})}^{2}$ ，当 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 均为整数时，用含 $m$ 、 $n$ 的式子分别表示 $a$ 、 $b$ ，得： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若 $a + 6 \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2}$ ，且 $a$ 、 $m$ 、 $n$ 均为正整数，求 $a$ 的值；

(3)、化简下列各式：
① $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$

② $\sqrt{7 - 2 \sqrt{10}}$

③ $\sqrt{4 - \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{4 + \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}$ .

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24. 我们知道， $\sqrt{a}$ ≥0(a≥0)，所以当a≥0时， $\sqrt{a}$ 的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 和 $\sqrt{- x^{2} + 3}$ 进行了以下的探索：
∵x²≥0，∴x²+1≥1，∴ $\sqrt{x^{2} + 1}$ ≥ $\sqrt{1}$ =1，
∴当x=0时， $\sqrt{x^{2} + 1}$ 的最小值为1．
∵x²≥0，∴-x²≤0，∴-x²+3≤3，∴ $\sqrt{- x^{2} + 3}$ ≤v3，
∴当x=0时， $\sqrt{- x^{2} + 3}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求 $\sqrt{(x + 2)^{2} + 7}$ 的最小值和 $\sqrt{- 3 (x - 5)^{2} + 9}$ 的最大值；

(2)、求 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ 的最小值；

(3)、我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p= $\frac{a + b + c}{2}$ ，则其面积S= $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为多少？

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