广东省部分名校2022-2023学年高一下学期数学3月大联考试卷

试卷更新日期：2023-04-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $c o s (- 120 °) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 函数 $f (x) = 3 s i n (\frac{x}{4} + \frac{π}{6}) - 1$ 的最小正周期和最大值分别是（）

A、 $\frac{π}{2}$ 和 $3$ B、 $\frac{π}{2}$ 和 $2$ C、 $8 π$ 和 $3$ D、 $8 π$ 和 $2$

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3. 下列函数为奇函数且在 $(0 ， 1)$ 上为减函数的是（）

A、 $f (x) = s i n x$ B、 $f (x) = t a n x$ C、 $f (x) = c o s x$ D、 $f (x) = s i n (- x)$

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4. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 为偶函数

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5. 如图，在正六边形 $A B C D E F$ 中， $\vec{A F} - \vec{E D} + \vec{E F} + 2 \vec{A B} =$ （）

A、 $\vec{0}$ B、 $\vec{A B}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{C F}$

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6. 已知曲线 $C_{1}$ ： $y = c o s 2 x$ ， $C_{2}$ ： $y = s i n (4 x + \frac{π}{3})$ ，则下面结论正确的是（）

A、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ B、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ C、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ D、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$

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7. 已知两个单位向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为120°，则向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{3}{2} \vec{b}$

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8. 为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点 $P (x ， y)$ ．若初始位置为点 $P_{0} (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，秒针从 $P_{0}$ （规定此时 $t = 0$ ）开始沿顺时针方向转动，若点P的纵坐标为y， $t \in [0 ， 60]$ ，则 $y < - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时t的取值范围为（）

A、 $(\frac{25}{2} ， \frac{45}{2})$ B、 $(\frac{35}{2} ， \frac{55}{2})$ C、 $(\frac{45}{2} ， \frac{65}{2})$ D、 $(\frac{55}{2} ， \frac{75}{2})$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、平行向量不一定是共线向量 B、向量 $\vec{A B}$ 的长度与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等 C、 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |}$ 是与非零向量 $\vec{A B}$ 共线的单位向量 D、若四边形 $A B C D$ 满足 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，则四边形 $A B C D$ 是平行四边形

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10. 已知函数 $f (x) = t a n (3 x + φ) + 1 (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(\frac{π}{9} ， 1)$ ，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{3}$ C、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq \frac{5 π}{18} + \frac{2 k π}{3} ， k \in Z}$ D、不等式 $f (x) < 2$ 的解集为 $(- \frac{π}{18} + \frac{k π}{3} ， \frac{7 π}{36} + \frac{k π}{3})$ ， $k \in Z$

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11. 已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，该值恰好等于 $2 s i n 18 °$ ），则下列式子的结果等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ 的是（）

A、 $\frac{1}{2} c o s 48 ° - \frac{\sqrt{3}}{2} s i n 48 °$ B、 $c o s 10 ° c o s 82 ° + s i n 10 ° s i n 82 °$ C、 $s i n 173 ° c o s 11 ° - s i n 83 ° c o s 101 °$ D、 $\sqrt{\frac{1 - s i n 54 °}{2}}$

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12. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A P} = 2 \vec{P C}$ ，延长DP交BC于点M，则（）

A、 $\vec{D P} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\vec{A B} = 4 \vec{C M}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 1$ D、 $\vec{D P} \cdot \vec{A C} = \frac{8}{3}$

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三、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + 2 \vec{b} + 2 \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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14. 已知 $s i n α - 3 c o s α = 0$ ，则 $c o s 2 α + t a n α =$ ．

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15. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上周期为2的奇函数，当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ，则 $f (- \frac{9}{2}) =$ ；当 $x \in (7 ， 8]$ 时， $f (x) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} ω x + 2 s i n ω x c o s ω x - s i n^{2} ω x (ω > 0)$ 在 $(\frac{π}{12} ， \frac{π}{3})$ 上有最大值，无最小值，则 $ω$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $s i n θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $θ$ 为第二象限角．

(1)、求 $\frac{c o s (\frac{3 π}{2} + θ) + c o s (- θ)}{s i n (\frac{π}{2} - θ) - c o s (π + θ)}$ 的值；

(2)、求 $c o s (2 θ - \frac{π}{6})$ 的值．

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18. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的两个向量，若 $\vec{O A} = m \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{O B} = (m + 1) \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ．

(1)、若 $m = - \frac{1}{2}$ ， $| \vec{a} | = 2 \sqrt{2} | \vec{b} |$ ，且 $\vec{O B} ⊥ \vec{O C}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、若A，B，C三点共线，求m的值．

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19. 已知函数 $f (x) = 5 s i n^{2} x - 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 3 c o s^{2} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (α + \frac{π}{6}) = \frac{12}{5}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ ，求 $t a n (2 α + \frac{π}{4})$ 的值．

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20. 某同学用“五点法”画函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
$ω x + φ$
0
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3 π}{2}$
$2 π$
x
$\frac{3 π}{8}$
$\frac{5 π}{8}$
$A s i n (ω x + φ)$
0
2
$- 2$
0

(1)、请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平行移动 $θ (θ > 0)$ 个单位长度，得到 $g (x)$ 的图象．若 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，求 $θ$ 的最小值．

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21. 在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{2} s i n A = 2 c o s^{2} \frac{A}{2}$ ．

(1)、求 $t a n A$ 的值；

(2)、若 $2 A - B = \frac{π}{2}$ ，求 $s i n (A + C)$ ．

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22. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ，且 ${\vec{A C}}^{2} = \vec{C A} \cdot \vec{C B} - 2$ ．

(1)、求A；

(2)、已知E为BC的中点，点D为AC上一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}$ ， BD与AE相交于点P，求 $c o s ∠ D P E$ ．

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$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
x			$\frac{3 π}{8}$	$\frac{5 π}{8}$
$A s i n (ω x + φ)$	0	2		$- 2$	0