山西省吕梁市交城县2023年中考数学模拟试卷

试卷更新日期：2023-04-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 化简 $(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{2}{x + 2}) \div \frac{x}{2 x + 4}$ 的结果是（）

A、2 B、 $\frac{2 x - 8}{x}$ C、 $- 6$ D、 $- 8$

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2. 若 $\frac{a b}{c} < 0$ ，且 $a$ ， $b$ 异号，则 $c$ 的符号为（）

A、大于 $0$ B、小于 $0$ C、大于等于 $0$ D、小于等于 $0$

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3. 圆锥的高h、母线长l满足l=2h，底面半径为r，则其侧面展开图形的面积为（　　）

A、 $\sqrt{2}$ πh² B、2 $\sqrt{3}$ πh² C、 $\sqrt{3}$ πhr² D、πhr²

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4. 下列计算中，正确的是（）

A、 $x^{3} \cdot x^{2} = x^{6}$ B、 $(x + y) (x - y) = x^{2} + y^{2}$ C、 ${(2 x y)}^{3} = 6 x^{3} y^{3}$ D、 $3 x y^{2} \div x y = 3 y$

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5. 如图 $1$ ，一副直角三角板 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ ，将 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 按图 $2$ 放置，已知 $∠ F = 30 °$ ，在图 $3$ 的位置上， $△ D E F$ 绕点 $D$ 按逆时针旋转至 $D F$ 与 $B C$ 重合，在旋转过程中，当 $E F$ 与 $△ A B C$ 的边平行，旋转的角度是 $(1) 30 °$ ； $(2) 45 °$ ； $(3) 75 °$ ； $(4) 135 °$ ； $(5) 165 ° .$ 其中正确的是（）

A、 $(1) (3) (4)$ B、 $(1) (3) (5)$ C、 $(1) (4) (5)$ D、 $(2) (3) (5)$

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6. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的顶点为 $(2 ， 1)$ ，那么关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（）

A、10 cm B、12 cm C、14 cm D、16 cm

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8. 下列说法正确的是（）

A、有两边及一边的对角分别相等的两个三角形全等 B、有两边相等的两个直角三角形全等 C、有两个角及第三个角的对边分别相等的两个三角形全等 D、有两个角及一边相等的两个三角形全等

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9. 把标有号码1、2、3、4、5的5个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，记下号码后，放回摇匀，再从中任意取一个，则两号码之和大于2的概率是（）

A、 $\frac{1}{25}$ B、 $\frac{17}{25}$ C、 $\frac{23}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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10. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC．BO的延长线交AC于点D．若∠ABD＝23°．则∠A的度数为（）

A、23° B、32° C、46° D、60°

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二、填空题

11. 计算 $\sqrt{3} \div (2 - \sqrt{3})$ 的结果为.

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12. 分解因式： ${2a}^{2} - 4a + 2 =$ ．

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13. 写出一个不过原点，且y随x的增大而增大的函数.

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14. 一块材料形状是Rt△ABC，∠C=90°量得边AC=6cm，AB =10cm，用它来加工一个正方形零件，使正方形的至少一边在Rt△ABC的边上，其余顶点在其它边上，则这个正方形零件的边长为：．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $5$ ， $O$ 是 $A B$ 边的中点，点 $E$ 是正方形内一动点， $O E = 2$ ，将线段 $C E$ 绕 $C$ 点逆时针旋转 $90 °$ 得 $C F$ ，连 $O F$ ，线段 $O F$ 的最小值为．

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三、解答题n

16. 计算： ${\begin{array}{l} \frac{x - 5}{3} > - 1 \\ x + 8 ⩽ 4 x - 1 \end{array}$

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17. 下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角 $∠ A O B$ ．求作：射线 $O C$ ，使 $∠ A O C = ∠ B O C$ ．

作法：

①在射线 $O A$ 上任取一点 $D$ ；

②以点 $O$ 为圆心， $O D$ 长为半径作弧，交 $O B$ 于点 $E$ ；

③分别以点 $D ， E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 长为半径作弧，在 $∠ A O B$ 内，两弧相交于点 $C$ ；

④作射线 $O C$ ．则 $O C$ 为所求作的射线．

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接CD，CE，
由作图步骤②可知OD=  ▲   ，
由作图步费③可知CD=  ▲   ，
∵OC=OC，
∴△OCD≅△OCE．
∴∠AOC=∠BOC（                   ）（填推理的依据）．

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18. 某文化用品商店准备购进甲、乙两种书包进行销售，经调查，乙书包的单价比甲书包贵 $35$ 元，用 $280$ 元购进乙书包的个数与用 $140$ 元购进甲书包的个数相等．

(1)、求甲、乙两种书包的进价分别为多少元?

(2)、商户购进甲、乙两种书包共 $100$ 个进行试销，其中甲书包的个数不少于 $20$ 个，且甲书包的个数的 $3$ 倍不大于乙书包的个数，已知甲书包的售价为 $65$ 元/个，乙书包的售价为 $110$ 元/个，且全部售出，设购进甲书包 $m$ 个，求该商店销售这批书包的利润 $W$ 与 $m$ 之间的函数关系式，并写出 $m$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，该店将 $100$ 个书包全部售出后，使用所获的利润又购进 $40$ 个书包捐赠给贫困地区儿童，这样该商店这批书包共获利 $2000$ 元．请求出该店第二次进货所选用的进货方案?

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19. 三月底，某学校迎来了以“学海通识品墨韵，开卷有益览书山”为主题的学习节活动为了让同学们更好的了解二十四节气的知识，本次学习节在沿袭以往经典项目的基础上，增设了十四节气之旅项目，并开展了相关知识竞赛该学校七、八年级各有400名学生参加了这次竞赛，现从七、八年级各随机抽取20名学生的成绩进行抽样调查．

七年级：74 97 96 72 98 99 72 73 76 74 74 69 76 89 78 74 99 97 98 99

八年级：76 88 93 89 78 94 89 94 95 50 89 68 65 88 77 87 89 88 92 91

整理数据如下

成绩

人数

年级

50≤x≤59

60≤x≤69

70≤x≤79

80≤x≤89

90≤x≤100

七年级

八年级

分析数据如下

年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	84.2	77	74	138.56
八年级	84	b	89	129.7

根据以上信息，回答下列问题

(1)、a＝；b＝；

(2)、你认为哪个年级知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．

(3)、学校对知识竞赛成绩不低于80分的学生颁发优胜奖，请你估计学校七、八年级所有学生中获得优胜奖的大约有人．

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是弦， $O C$ 是 $⊙ O$ 的半径， $A D ⊥ C D$ 于点 $D .$ 且 $∠ A O C = 2 ∠ A C D$ ．求证：

(1)、 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、 $A C^{2} = A B \cdot A D$ ．

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21. 如图，点A表示一个半径为400米的森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，且∠B＝45°，∠C＝37°，如果在两村庄之间修一条长1000m的笔直公路将两村连通，那么该公路是否会穿过该森林公园？请说明理由．（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）

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22. 已知四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $F$ 为射线 $A D$ 上一点，连接 $C F$ 并以 $C F$ 为对角线作正方形 $C E F G$ ，连接 $B E$ ， $D G$ ．

(1)、如图 $1$ ，当点 $F$ 在线段 $A D$ 上时，求证： $B E = D G$ ；

(2)、如图 $1$ ，当点 $F$ 在线段 $A D$ 上时，求证： $C D - D F = \sqrt{2} B E$ ；

(3)、如图 $2$ ，当点 $F$ 在线段 $A D$ 的延长线上时，请直接写出线段 $C D$ ， $D F$ 与 $B E$ 间满足的关系式．

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23. 已知抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0 ， a \neq c)$ 与x轴交于点 $A (1 ， 0)$ ，顶点为B．

(1)、 $a = 1$ 时， $c = 3$ 时，求抛物线的顶点B的坐标；

(2)、求抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴的另一个公共点的坐标 $($ 用含a，c的式子表示 $)$ ；

(3)、若直线 $y_{2} = 2 x + m$ 经过点B且与抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 交于另一点 $C (\frac{c}{a} ， b + 8)$ ，求当 $x ≥ 1$ 时， $y_{1}$ 的取值范围．

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