山西省晋中市昔阳县2023年中考数学质检试卷（3月份）

试卷更新日期：2023-04-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $2 s i n 30 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 矩形具有但菱形不一定具有的性质是（）

A、对边平行且相等 B、对角相等、邻角互补 C、对角线互相垂直 D、对角线相等

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3. 对于反比例函数y= $\frac{3}{x}$ ，下列判断正确的是（）

A、图象经过点(-1，3) B、图象在第二、四象限 C、不论x为何值，y>0 D、图象所在的第一象限内，y随x的增大而减小

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4. 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在平面直角坐标系中，将函数 $y = - 2 x^{2}$ 的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（）

A、 $y = - 2 (x + 1)^{2} + 5$ B、 $y = - 2 (x - 1)^{2} + 5$ C、 $y = - 2 (x + 1)^{2} - 5$ D、 $y = - 2 (x - 1)^{2} - 5$

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6. 如图，点 $P$ 在 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上，要判断 $△ A B P ∽ △ A C B$ ，添加下列一个条件，错误的是（）

A、 $∠ A B P = ∠ C$ B、 $\frac{A P}{A B} = \frac{B P}{B C}$ C、 $\frac{A P}{A B} = \frac{A B}{A C}$ D、 $∠ A P B = ∠ A B C$

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7. 如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段 $A B$ ，已知坡长 $A B$ 为m米，坡角 $∠ A B H$ 为α，则坡 $A B$ 的铅垂高度 $A H$ 为（）

A、 $\frac{m}{s i n a}$ 米 B、 $m s i n α$ 米 C、 $m c o s α$ 米 D、 $m t a n α$ 米

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8. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A D 是 ⊙ O$ 的直径，若 $∠ B ＝ 30 °$ ，则 $∠ D A C$ 的度数是（）

A、50° B、55° C、60° D、70°

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9. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y= $\frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，扇形纸片 $A O B$ 的半径为2，沿 $A B$ 折叠扇形纸片，点O恰好落在 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点C处，图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{3}{4} π - \sqrt{3}$ B、 $\frac{2}{3} π - \sqrt{3}$ C、 $\frac{4}{3} π - 2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{8}{3} π - 2 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 二次函数 $y = {(x + 3)}^{2} - 4$ 的顶点坐标是．

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $O A = 7$ ， $O B = 3$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为．

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13. 如图， $△ A B C$ 的顶点在正方形网格的格点上，则 $t a n ∠ A B C$ 的值为．

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14. 如图，四边形ABCD内接于☉O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC=°

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15. 如图所示，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若 $A B = 6 ， C E = 2 B E ， t a n ∠ A O D = \frac{3}{4}$ ，则k的值为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $s i n 45 ° + t a n 45 ° - 2 c o s 60 °$ ．

(2)、下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．

解：

$x^{2} - 2 x = 1$ 第一步

$x^{2} - 2 x + 1 = 1$ ，即 ${(x - 1)}^{2} = 1$ 第二步

$x - 1 = \pm 1$ 第三步

$x_{1} = 0 ， x_{2} = 2$ 第四步

任务一：

①填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是 ▲ ，依据的一个数学公式是 ▲ ；第 ▲ 步开始出现错误；

任务二：

②请你直接写出该方程的正确解．

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17. “航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
A．嫦娥五号B．天问一号
C．长征火箭 D．天宫一号

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18. 如图，一次函数 $y_{1} = x + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ （k为常数， $k \neq 0$ ）的图象交于A、B两点，B点的坐标为 $(- 2 ， - 1)$ ．

(1)、求两个函数的表达式和A点坐标；

(2)、根据图象直接写出当 $y_{1} < y_{2}$ 时，自变量x的取值范围．

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19. “眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从 $A$ 处测得该建筑物顶端 $C$ 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达 $B$ 处，测得顶端 $C$ 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据： $\sin 24 ° \approx \frac{2}{5}$ ， $\cos 24 ° \approx \frac{9}{10}$ ， $\tan 24 ° \approx \frac{9}{20}$ ）

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20. 2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．

(1)、若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；

(2)、预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降价10元，每天多卖出2套，当降价钱数m为多少元时每天的利润W（元）可达到最大，最大利润是多少？

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21. 阅读与思考

如图是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务．

×年×月×日星期日错题积累

在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点D，O是 $A B$ 上一点，且 $⊙ O$ 经过B，D两点，分别交 $A B ， B C$ 于点E，F．

…

【自勉】

读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确．

——培根

任务：

(1)、使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、求证：

⊙ O

与

A C

相切于点D；

(3)、若

C D = \sqrt{3} ， ∠ B D C = 60 °

，则劣弧

\overset{⌢}{E D}

的长为．

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22. 综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E是对角线 $A C$ 上一点，连接 $B E$ ，过点E分别作 $A C ， B E$ 的垂线，分别交直线 $B C ， C D$ 于点F，G．试猜想线段 $B F 和 C G$ 的数量关系并加以证明．

(1)、数学思考：
请解答上述问题；

(2)、问题解决：
如图2，在图1的条件下，将“正方形 $A B C D$ ”改为“矩形 $A B C D$ ”，其他条件不变．若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，求 $\frac{B F}{C G}$ 的值；

(3)、问题拓展：
在（2）的条件下，当点E为 $A C$ 的中点时，请直接写出 $△ C E G$ 的面积．

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23. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象与x轴交于 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、点P是直线 $A C$ 上方的抛物线上一动点，设三角形 $A P C$ 的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；

(3)、点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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