山东省泰安市东平县2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在 $\sqrt{2}$ ， 0， $- 1$ ， 2这四个实数中，最大的数是（）

A、0 B、 $- 1$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ B、 $2 a^{3} + 3 a^{3} = 5 a^{6}$ C、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{6}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 将 $2.05 \times 10^{- 3}$ 用小数表示为（）

A、0.000205 B、0.0205 C、0.00205 D、－0.00205

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5. 如图，直线 $a ∥ b$ ，等边三角形 $A B C$ 的顶点 $C$ 在直线 $b$ 上， $∠ 2 = 40 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $70 °$ C、 $60 °$ D、 $50 °$

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6. 如图，AB ， AC分别是⊙O的直径和弦， $O D ⊥ A C$ 于点D ，连接BD ， BC ，且 $A B = 10$ ， $A C = 8$ ，则BD的长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、4 C、 $2 \sqrt{13}$ D、4.8

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7. 一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据6，则不发生变化的统计量是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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8. 如图，在 $⊙ O$ 中， $O A = 2$ ， $∠ C = 45 °$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{π}{2} - \sqrt{2}$ B、 $π - \sqrt{2}$ C、 $\frac{π}{2} - 2$ D、 $π - 2$

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与 $x$ 轴相交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B$ 两点，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、当 $x > - 1$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大 C、点 $B$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ D、 $4 a + 2 b + c > 0$

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10. 关于x的方程 $x^{2} - 3 k x - 2 = 0$ 实数根的情况，下列判断正确的是（）

A、有两个相等实数根 B、有两个不相等实数根 C、没有实数根 D、有一个实数根

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11. 如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S_△AEF＝3，则下列结论：① $\frac{A F}{D F}$ ＝ $\frac{1}{2}$ ；②S_△BCE＝27；③S_△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（）

A、①②③④ B、①④ C、②③④ D、①②

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12. 如图，在矩形纸片ABCD中， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将 $△ A E F$ 沿EF所在直线翻折，得到 $△ A' E F$ ，则 $A' C$ 的长的最小值是 $($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、3 C、 $\sqrt{13} - 1$ D、 $\sqrt{10} - 1$

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二、填空题

13. 计算： $\sqrt{4}$ + ${(π - 3)}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$ ＝.

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14. 如图，若菱形 $A B C D$ 的顶点A，B的坐标分别为 $(3 ， 0)$ ， $(- 2 ， 0)$ ，点D在y轴上，则点D的坐标是．

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15. 如图， $A B$ 、 $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦，过点A的切线交 $C B$ 的延长线于点 $D$ ，若 $∠ B A D = 35 °$ ，则 $∠ C =$ °．

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16. 一艘轮船位于灯塔 $P$ 的南偏东 $60 °$ 方向，距离灯塔30海里的 $A$ 处，它沿北偏东 $30 °$ 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的北偏东 $67 °$ 方向上的 $B$ 处，此时与灯塔 $P$ 的距离约为海里．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ）

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17. 将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是．

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18.
如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D₁ ，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D₁AD= ．

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三、解答题

19. 先化简、再求值： $(1 - \frac{2}{x}) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} - \frac{x + 4}{x + 2}$ ，其中 $x^{2} + 2 x - 13 = 0$ ．

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20. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：

(1)、共有名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是度；

(2)、补全调查结果条形统计图；

(3)、小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象都经过 $A (2 ， - 4) 、 B (- 4 ， m)$ 两点．

(1)、求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．

(1)、篮球、排球的进价分别为每个多少元?

(2)、该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?

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23. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．

(1)、求证：四边形AECD是平行四边形；

(2)、若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．

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24. 如图， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径，点 $D$ 在 $A B$ 的延长线上， $C$ 、 $E$ 是⊙ $O$ 上的两点， $C E = C B$ ， $∠ B C D = ∠ C A E$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 的延长线于点 $F$

(1)、求证： $C D$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、求证： $C E = C F$

(3)、若 $B D = 1$ ， $C D = \sqrt{2}$ ，求弦 $A C$ 的长.

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25. 抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和 $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ．点 $P$ 是线段 $B C$ 下方抛物线上的一个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交 $B C$ 于 $M$ ，交 $x$ 轴于 $N$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、用关于 $t$ 的代数式表示线段 $P M$ ，求 $P M$ 的最大值及此时点 $M$ 的坐标；

(3)、过点 $C$ 作 $C H ⊥ P N$ 于点 $H$ ， $S_{△ B M N} = 9 S_{△ C H M}$ ，
①求点 $P$ 的坐标；
②连接 $C P$ ，在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $△ C P Q$ 为直角三角形，若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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