山东省青岛市即墨区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 2$ 的相反数是（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{4}$ B、 ${(2 a^{2})}^{3} = 8 a^{6}$ C、 $a^{3} \times a^{2} = a^{6}$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$

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4. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， AD是 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ B = 20 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数是（）

A、60° B、65° C、70° D、75°

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5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 2) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 如图，正方形 $O A B C$ 的边长为 $\sqrt{2}$ ，将正方形 $O A B C$ 绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点 $B_{1}$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{2} ， 0)$ B、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ C、 $(0 ， \sqrt{2})$ D、 $(0 ， 2)$

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7. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）

A、16 B、6 $\sqrt{7}$ C、12 $\sqrt{7}$ D、30

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8. 平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，现给出下列结论：① $a b c < 0$ ；② $c + 2 a > 0$ ；③ $9 a - 3 b + c = 0$ ；④ $a - b ≤ a m^{2} + b m$ （m为实数）；⑤ $4 a c - b^{2} < 0$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础.2022年我国粮食总产量再创新高，达 $68653$ 万吨．比2021年增加368吨，增长 $0.5 %$ ， $68653$ 万可用科学记数法表示为．

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10. 计算， $\frac{\sqrt{50} - \sqrt{18}}{\sqrt{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 2} =$ ．

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11. 若一组数据 $4, x, 5, y, 7, 9$ 的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为．

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12. 某品牌瓶装饮料每箱价格是26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”的促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料每瓶多少元？设该品牌饮料每瓶是x元，则可列方程为．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点D，弧 $A D$ 沿直线 $A D$ 翻折后经过点O，那么阴影部分的面积为．

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14. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且 $B E = D F$ ，连接EF交边AD于点G．过点A作 $A N ⊥ E F$ ，垂足为点M，交边CD于点N．若 $B E = 5$ ， $C N = 8$ ，则线段AN的长为

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三、解答题

15. 已知：在 $△ A B C$ 及 $A B$ 边上一点E．求作： $⊙ O$ ，使它分别于 $A B ， B C$ 相切，且点E为其中一个切点．

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16.

(1)、化简： $1 - \frac{a + 3}{a^{2} - 1} \div \frac{a + 3}{a - 1}$

(2)、解方程组 ${\begin{array}{l} 5 x + y = 2 \\ x - 3 y = 4 \end{array}$

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17. 有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）.小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张.

(1)、用树状图（或列表法）表示两次模牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；

(2)、求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率.

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18. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$

(1)、求证：二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$ 的图像与x轴总有两个交点

(2)、若二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$ 的图像与x轴交点的横坐标一个大于2，一个小于1，求m的取值范围．

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19. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）.按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”.将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这次调查的样本容量是 ▲ ，请补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中，B组的圆心角是度，本次调查数据的中位数落在组内；

(3)、若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数.

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20. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m.参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94 ， c o s 70 ° \approx 0.34 ， t a n 70 ° \approx 2.75 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）.

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21. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，点D，E分别是边 $B C$ ， $A C$ 的中点，连接 $D E$ ．将 $△ C D E$ 绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为 $α$ ．

(1)、问题发现
①当 $α = 0 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ ；
②当 $α = 180 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ ；

(2)、拓展探究：试判断当 $0 ° < α < 360 °$ 时， $\frac{A E}{B D}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

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22. 如图，直线 $y_{1} = - x + 4$ ， $y_{2} = \frac{3}{4} x + b$ 都与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于点 $A (1 ， m)$ ，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、直接写出当 $x > 0$ 时，不等式 $- x + 4 > \frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、若点P在x轴上，连接 $A P$ 把 $△ A B C$ 的面积分成 $1 ： 3$ 两部分，求此时点P的坐标．

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23. 在菱形 $A B C D$ 中， $C E ， A F$ 分别是其外角 $∠ D C N$ 和 $∠ D A M$ 的平分线， $A D$ 的延长线交 $C E$ 于点E， $C D$ 的延长线交 $A F$ 于点F．

(1)、证明： $△ A D C ≌ △ E D F$

(2)、判断四边形 $A C E F$ 是什么特殊四边形．并说明理由．

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24. 跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．

(1)、甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？

(2)、若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？

(3)、由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？

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25. 如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少了一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数解析式 $y = x^{2} - 4 x + 1$ ，

已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (0 ， 1)$ ， $B (1 ， - 2)$ ，．

求该二次函数的解析式．

(1)、请根据已有信息添加一个适当的条件：

(2)、当函数值 $y < 6$ ，自变量x的取值范围为：

(3)、如图1，将函数 $y = x^{2} - 4 x + 1 (x < 0)$ 的图象向右平移4个单位与 $y = x^{2} - 4 x + 1 (x \geq 4)$ 的图象组成一个新的函数图象，记为L，若点 $P (3 ， m)$ ，求m的值．

(4)、如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为 $(2 ， 0)$ ，在L上是否存在点Q，使得 $S_{△ O A Q} = 9$ ，若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标，不存在，说明理由．

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