广东省佛山市高明区2023年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-04-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $5 + (- 3)$ 的结果是（）

A、2 B、 $- 2$ C、8 D、 $- 8$

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2. 如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ O = 50 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $50 °$ D、 $100 °$

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3. “甲骨文”是中国的一种古老文字，又称“契文”“殷墟文字”，下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 方程 $x^{2} = 1$ 的根是（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x = \pm 1$ D、 $x = \pm 2$

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5. 如图， $D E ∥ B C$ ，且 $A D ： D B = 1 ： 2$ ， $B C = 12$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、3 B、4 C、6 D、12

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a + a = 3 a^{2}$ B、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{6}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 $\sqrt{9} = \pm 3$

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7. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $c o s A = \frac{1}{2}$ ，则 $∠ A$ 的大小是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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8. 如图，以点 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ，再分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，连接 $A P$ 并延长交 $B C$ 于点 $D$ ，若 $A B = A C = 10$ ， $A D = 8$ ，则 $B C$ 的长度为（）

A、6 B、8 C、12 D、16

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9. 如图，在边长为1的正方形网格中，点 $A$ ， $B$ ， $D$ 在格点上，以 $A B$ 为直径的圆过 $C$ ， $D$ 两点，则 $s i n ∠ B C D$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 已知 $b > a > 0$ ，下列选项正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} < \frac{a - 1}{b - 1}$ B、 $\frac{a}{b} < \frac{a + 1}{b + 1}$ C、 $\frac{1}{a^{2} - 1} < \frac{1}{{(a - 1)}^{2}}$ D、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$

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二、填空题

11. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $A C = 6$ ， $B C = 4$ ，则 $t a n A =$ ．

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12. 已知 $a + b = 5$ ， $a b = 6$ ，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为．

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13. 为了解某小区居民生活用电情况，调查小组从该小区随机调查了200户居民的月平均用电量 $x$ （千瓦时），并将全部调查数据分组统计如下：
组别
$60 < x \leq 100$
$100 < x \leq 140$
$140 < x \leq 180$
$180 < x \leq 220$
$220 < x \leq 260$
$260 < x \leq 300$
频数（户数）
28
42
$a$
30
20
10
把这200个数据从小到大排列后，其中第98到第102个数据依次为：150，152，152，154，160，这200户居民月平均用电量的中位数为．

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14. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）图象的对称轴为直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(3 ， 0)$ ，给出下列结论：① $a c < 0$ ；②图象与 $x$ 轴的另一个交点为 $(- 1 ， 0)$ ；③当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，正确结论的序号是．

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15. 如图，某同学画的反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象如图所示，请写出图象中的错误．

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三、解答题

16. 计算： $\sqrt{12} + 2 c o s 30 ° - 3 t a n 60 °$ ．

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17. 解方程： $\frac{1}{x - 3} = \frac{6}{x^{2} - 9}$ ．

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18. 《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $A E = 1$ 寸， $C D = 10$ 寸，求直径 $A B$ 的长，”请你解答这个问题．

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19. 点 $P (m + 3 ， 3 - 2 m)$ 与点 $Q (m^{2} - 5 m ， | 2 m - 3 |)$ 在同一平面直角坐标系中．

(1)、若点 $P$ 位于第四象限，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若点 $P$ 与点 $Q$ 关于 $y$ 轴对称，求线段 $P Q$ 的长度．

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20. 如图，海中小岛 $A$ 周围 $15 n m i l e$ 内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 $B$ 点处测得小岛 $A$ 在北偏东 $63.4 °$ 方向上；航行 $26 n m i l e$ 到达 $C$ 点，这时测得小岛 $A$ 在北偏东 $33.7 °$ 方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？（参考数据： $t a n 63.4 ° \approx 2$ ， $t a n 33.7 ° \approx 0.7$ ）

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21. 已知二次函数图象的顶点坐标是 $(- \frac{1}{2} ， \frac{9}{4})$ ，且经过点 $(1 ， 0)$ ．

(1)、求二次函数的表达式，并画出图象；

(2)、二次函数的图象与一次函数 $y = 3 x - 3$ 的图象相交吗？若相交，求出它们的交点坐标：

(3)、若二次函数的图象经过平移后过原点，可以怎样平移？

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22. 如图， $⊙ O$ 经过正方形 $A B C D$ 的顶点 $B$ ， $C$ ，与 $A D$ 相切于点 $E$ ，分别交 $A B$ ， $C D$ 于点 $F$ ， $G$ ，连接 $F G$ ．

(1)、求证：四边形 $F B C G$ 是矩形；

(2)、求 $\frac{A F}{F B}$ 的值．

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23. 二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + m - 5$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，函数图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．
①写出函数的一个性质；
②如图1，点 $P$ 是第四象限内函数图象上一动点，求出点 $P$ 坐标，使得 $△ B C P$ 的面积最大；
③如图2，点 $Q$ 为第一象限内函数图象上一动点，过点 $Q$ 作 $Q F ⊥ x$ .轴，垂足为 $F$ ， $△ A B Q$ 的外接圆与 $Q F$ 交于点 $D$ ，求 $D F$ 的长度；

(2)、点 $M (x_{1} ， y_{1})$ 、 $N (x_{2} ， y_{2})$ 为函数图象上任意两点，且 $x_{1} < x_{2}$ .若对于 $x_{1} + x_{2} > 3$ 时，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $m$ 的取值范围．

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组别	$60 < x \leq 100$	$100 < x \leq 140$	$140 < x \leq 180$	$180 < x \leq 220$	$220 < x \leq 260$	$260 < x \leq 300$
频数（户数）	28	42	$a$	30	20	10