安徽省合肥蜀山区2023年九年级中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-04-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{3}$ 的倒数是（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（）

A、 $22 \times 1 0^{10}$ B、 $2.2 \times 1 0^{10}$ C、 $2.2 \times 1 0^{11}$ D、 $0.22 \times 1 0^{12}$

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3. 下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(- a)}^{6} \div {(- a)}^{3} = - a^{3}$ C、 ${(a b^{2})}^{3} = a b^{6}$ D、 ${(- 3 a^{3})}^{2} = 6 a^{6}$

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4. 如图，该几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，直线 $a ∥ b$ ，等边 $△ A B C$ 的顶点C在直线b上，若 $∠ 1 = 42 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $92 °$ B、 $102 °$ C、 $112 °$ D、 $114 °$

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6. 若直线 $y = k x + b$ 经过一、二、四象限，则直线 $y = b x - k$ 的图象只能是图中的（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 和等边三角形 $A E F$ 均内接于 $⊙ O$ ，则 $\frac{A B}{A E}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 某社区要从A、B、C三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者B和C的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 已知关于x的方程 $| \frac{x^{2}}{x - 2} | = a$ 有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（）

A、 $a > 0$ B、 $2 < a < 8$ C、 $a > 8$ D、 $0 < a < 8$

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10. 已知 $∠ A B C = ∠ E A D = 90 °$ ， D是线段 $A B$ 上的动点且 $A C ⊥ E D$ 于点G， $A B = A E = 4$ ，则 $B G$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{5} - 2$ D、 $\frac{4}{5} \sqrt{10}$

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二、填空题

11. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \leq 3 \\ - 2 x - 6 < - 4 \end{array}$ 的解集是．

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12. 在半径为3的圆中，圆心角 $150 °$ 所对的弧长是．

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点A在双曲线 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 上，点B、C在x轴上，延长 $C D$ 至点E，使 $C D = 2 D E$ ，连接 $B E$ 交y轴于点F，连接 $C F$ ，已知 $△ B F C$ 的面积为6，则 $k =$ ．

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14. 已知点 $M (a ， b)$ 是抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 上一动点．

(1)、当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是；

(2)、当点M到直线 $x = m$ 的距离不大于 $n (n > 0)$ 时，b的取值范围是 $5 \leq b \leq 10$ ，则 $m + n$ 的值为．

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三、解答题

15. 计算： $| - 2 | + \sqrt{2} t a n 45 ° - \sqrt{8} - {(2023 - π)}^{0}$ ．

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16. 如图，网格中小正方形的边长均为1， $△ A B C$ 是格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），请仅用无刻度的直尺作图．

(1)、在图（1）中作出 $△ A B C$ 的中线 $C D$ ；

(2)、请在图（2）中找一格点E，使得 $S_{△ A B E} = S_{△ A B C}$ ．

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17. 如图所示，一梯子 $A C$ 斜靠着墙 $O D$ ，梯子与地面夹角为 $45 °$ ，若梯子底端A向右水平移动 $1.5 m$ 至点B，此时梯子顶端向上移动 $1 m$ 至点D，此时 $∠ D B O = 58 °$ ，求 $O B$ 长度．（参考数据： $s i n 58 ° \approx 0.85$ ， $c o s 58 ° \approx 0.53$ ， $t a n 58 ° \approx 1.60$ ）

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18. 观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．
① $1 \times 2 = \frac{1}{3} (1 \times 2 \times 3 - 0 \times 1 \times 2)$
② $2 \times 3 = \frac{1}{3} (2 \times 3 \times 4 - 1 \times 2 \times 3)$
③ $3 \times 4 = \frac{1}{3} (3 \times 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 4)$

(1)、 $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 =$ ；

(2)、 $1 \times 2 + 2 \times 3 + \cdot \cdot \cdot + n (n + 1) =$ ；

(3)、 $1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \cdot \cdot \cdot + n (n + 1) (n + 2) =$ ．

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19. 如图，已知一次函数 $y_{1} = \frac{3}{2} x - 3$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 第一象限内的图象相交于点 $A (4 ， n)$ ，与x轴相交于点B．

(1)、求n和k的值；

(2)、如图，以 $A B$ 为边作菱形 $A B C D$ ，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交 $C D$ 于点E，连接 $A E 、 B E$ ，求 $S_{△ A B E}$ ．

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20. 已知等腰 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ，且 $B C = C D$ ，连接 $A D$ 交 $B C$ 于点E，以 $D E$ 为直径的 $⊙ O$ 上有一点F，使得 $\overset{⌢}{E F} = \overset{⌢}{D F}$ ，连接 $C F$ 交 $D E$ 于点G，若 $∠ B A D = 90 °$ ．

(1)、判断 $A C$ 与 $⊙ O$ 的关系，并说明理由；

(2)、若 $C E = 1$ ，求 $C F \cdot G F$ 的值．

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21. 2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮．某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
组号
成绩
频数
频率
1
$40 \leq x < 50$
2
$0.04$
2
$50 \leq x < 60$
a
$0.1$
3
$60 \leq x < 70$
18
$0.36$
4
$70 \leq x < 80$
9
$0.18$
5
$80 \leq x < 90$
b
m
6
$90 \leq x \leq 100$
2
$0.04$
合计
50
$1.000$
其中 $60 \leq x < 70$ 这一组的数据如下：
61，62，62，63，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，66，67，67，69根据以上提供的信息，解答下列问题：

(1)、表格中 $a =$ ， $b =$ ， $m =$ ；

(2)、抽取的50名学生竞赛成绩的众数是；

(3)、若以组中值（每组正中间数值）为本组数据的平均数，全校共有1000名学生参与竞赛，试估计所有学生成绩的平均分．

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22. 已知四边形 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A C ， B D$ 相交于点P，且 $∠ A P B = 90 °$ ， $\frac{D P}{P B} = \frac{1}{2}$ ，设 $A B = c$ ， $B C = a$ ， $A D = b$ ．

(1)、①如图1，当 $∠ A B D = 45 °$ 时， $c = 2 \sqrt{2}$ 时， $a =$ ； $b =$ ；
②如图2，当 $∠ A B D = 30 °$ 时， $c = 4$ 时， $a =$ ； $b =$ ；

(2)、观察（1）中的计算结果，利用图3证明 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $c^{2}$ 三者关系．

(3)、如图4，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E，F，G分别是 $A D ， B C ， C D$ 的中点， $B E ⊥ E G$ ， $A D = 2 \sqrt{5}$ ， $A B = \sqrt{7}$ ，求 $A F$ 的长．

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23. 已知抛物线C：y＝x²-2bx+c；

(1)、若抛物线C的顶点坐标为（1，-3），求b、c的值；

(2)、当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是-4，求b的值；

(3)、当c＝b²+1，3≤x≤m时，x²-2bx+c≤x-2恒成立，则m的最大值为．

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组号	成绩	频数	频率
1	$40 \leq x < 50$	2	$0.04$
2	$50 \leq x < 60$	a	$0.1$
3	$60 \leq x < 70$	18	$0.36$
4	$70 \leq x < 80$	9	$0.18$
5	$80 \leq x < 90$	b	m
6	$90 \leq x \leq 100$	2	$0.04$
合计		50	$1.000$