安徽省合肥市庐江县2023年初中毕业班九年级第一次教学质量抽测数学试题

试卷更新日期：2023-04-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $2 x + y = 1$ B、 $x = 3 x^{3} - 2$ C、 $x^{2} - 2 = 0$ D、 $3 x + \frac{1}{x} = 1$

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2. 彩民李大叔购买1张彩票，中奖这个事件是（）

A、必然事件 B、确定性事件 C、不可能事件 D、随机事件

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3. 下列常用手机 APP 的图标中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $(- 3 ， y_{1})$ ， $(- 2 ， y_{2})$ ， $(1 ， y_{3})$ 是抛物线 $y = 3 x^{2} + 12 x - 1$ 上的点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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5. 在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为．（）

A、2 $\sqrt{3}$ cm B、 $\sqrt{3}$ cm C、3cm D、2cm

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6. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（　　）

A、2500x²=3600 B、2500（1+x）²=3600 C、2500（1+x%）²=3600 D、2500（1+x）+2500（1+x）²=3600

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7. 如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′ $∥$ AB，则旋转角的度数为（）

A、64° B、52° C、42° D、36°

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8. 如图，在 $5 \times 6$ 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{24}$ C、 $\frac{\sqrt{10} π}{60}$ D、 $\frac{\sqrt{5} π}{60}$

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9. 二次函数y＝a（x-2）²+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图， $A B ， A C$ 分别是半圆O的直径和弦， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ， D是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的一个动点，连接AD．过点C作 $C E ⊥ A D$ 于E，连接 $B E$ ，则 $B E$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{13} - 2$ B、 $\sqrt{13} - 3$ C、2 D、3

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二、填空题

11. 在平面直角坐标系中，点 $P (2 ， 1)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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12. 若一元二次方程 $2 x^{2} - 4 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则m= ．

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13. 如图，三角形 $A B C$ 的顶点都在 $⊙ O$ 上，则 $∠ A + ∠ O B C$ 的度数为．

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14. 已知：抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x (a \neq 0)$ ．

(1)、此抛物线的对称轴为直线 $x =$ ；

(2)、当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，y的最小值为−4，则 $a =$ ．

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三、解答题

15. 解方程： $2 (x - 1)^{2} - 18 = 0$ ．

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16. 已知某二次函数的图象的顶点为 $(- 2 ， 2)$ ，且过点 $(- 1 ， 3)$ ．

(1)、求此二次函数的关系式．

(2)、判断点 $P (1 ， 9)$ 是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．

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17. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．

(1)、将 $△ D E F$ 绕点E逆时针旋转90°得到 $△ D_{1} E F_{1}$ ，画出 $△ D_{1} E F_{1}$ ．

(2)、若 $△ D E F$ 由 $△ A B C$ 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为．

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18. 将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1、3、6、10．……．按照以上规律，解决下列问题：

(1)、第⑤个图中有个黑色圆点；第⑩个图中有个黑色圆点；

(2)、第个图中有210个黑色圆点．

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19. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点， $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $B D$ 交 $C E$ 于点F．

(1)、求证： $C F = B F$ ；

(2)、若 $B E = O E = 2$ ，求弧 $A D$ 的长度．

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20. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为 $40$ 元的新款头盔每月的销售量 $y ($ 件 $)$ 与售价 $x ($ 元 $)$ 的相关信息如下：
售价x（元）
$60$
$70$
$80$
$90$
…
销售量y（件）
$280$
$260$
$240$
$220$
…

(1)、试用你学过的函数来描述与 $x$ 的关系，这个函数可以是（填“一次函数”或“二次函数”），写出这个函数解析式为．

(2)、若获利不得高于进价的 $80 %$ ，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？

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21. 某商场为掌握元旦期间顾客购买商品时刻的分布情况，元旦当天将顾客购买商品的时刻t分四个时间段：7：00 $\leq t <$ 11：00，11：00 $\leq t <$ 15：00，15：00 $\leq t <$ 19：00和19：00 $\leq t <$ 23：00（分别记为A段，B段，C段和D段）统计了5000名顾客的购买时刻．并绘制出顾客购买商品时刻的扇形统计图和频数分布直方图如下，其中扇形统计图中，A，B，C，D四段各部分圆心角的度数比为1︰3︰4︰2．
请根据上述信息解答下列问题：

(1)、B段的顾客人数为人，C段的顾客人数为人；补全频数直方图；

(2)、顾客购买商品时刻的中位数落在段（填写表示时间段的字母即可）；

(3)、为活跃节日气氛，该商场设置购物后抽奖活动，设立了特等奖一个，一等奖两个，二等奖若干，并随机分配到A，B，C，D四个时间段中．
①请直接写出特等奖出现在A时间段的概率：；
②请利用画树状图或列表的方法，求两个一等奖出现在不同时间段的概率．

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22. 对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + m$ ．

(1)、若抛物线经过点 $A (- 2 ， - 1)$ ，求该抛物线的顶点坐标；

(2)、如图，在（1）的条件下，在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于B，C两点（点C在对称轴的右侧），过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D．当矩形 $B C D E$ 为正方形时，求B点的坐标．

(3)、若抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + m$ 有两个相异的不动点a、b，且 $a < 2 < b$ ，求m的取值范围．

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23.

(1)、如图1，过等边 $△ A B C$ 的顶点A作 $A C$ 的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接 $C P$ ，将线段 $C P$ 绕点C逆时针方向旋转60°得到线段 $C Q$ ，连接 $Q B$ ．
①求证： $A P = B Q$ ；
②连接 $P B$ 并延长交直线 $C Q$ 于点D．若 $P D ⊥ C Q$ ， $A C = \sqrt{2}$ ，求 $P B$ 的长；

(2)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 45 °$ ，将边 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A D$ ，连接 $C D$ ，若 $A C = 1$ ， $B C = 3$ ，求 $C D$ 长．

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售价x（元）	$60$	$70$	$80$	$90$	…
销售量y（件）	$280$	$260$	$240$	$220$	…