浙江省宁波市北仑区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-04-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 2023$ 的倒数是（）

A、 $\frac{1}{2023}$ B、 $- \frac{1}{2023}$ C、2023 D、－2023

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2. 计算 $m^{6} \div m^{2}$ 的结果是（）

A、 $m^{- 4}$ B、 $m^{3}$ C、 $m^{4}$ D、 $m^{8}$

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3. 据国家医保局公布的《2022年医疗保障事业发展统计快报》显示，2022年全年医保基金支付核酸检测费用4300000000元.数4300000000用科学记数法表示为（）

A、 $43 \times 1 0^{8}$ B、 $4.3 \times 1 0^{9}$ C、 $4.3 \times 1 0^{10}$ D、 $0.43 \times 1 0^{10}$

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4. 如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱组成的，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献.数学活动课上，同学们对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
数字
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
频数
8
8
12
11
10
8
9
8
12
14
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（）

A、9，5 B、14，4.5 C、14，5 D、9，4.5

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6. 如图（1）是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（）

A、 $14 π$ B、 $7 π$ C、 $\frac{25}{3} π$ D、 $2 π$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，D，E分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点，点F是线段 $D E$ 上的点，且 $∠ A F B = 90 °$ ，若 $A B = 5$ ， $B C = 8$ ，则 $E F =$ （）

A、1 B、 $1.5$ C、 $2.5$ D、4

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8. 我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱.问梨果各几何？”意思是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问梨果各买了多少个？如果设梨买x个，果买y个，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{11 x}{9} + \frac{4 y}{7} = 999 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{9 x}{11} + \frac{7 y}{4} = 999 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 999 \\ \frac{11 x}{9} + \frac{4 y}{7} = 1000 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 999 \\ \frac{9 x}{11} + \frac{7 y}{4} = 1000 \end{array}$

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9. 如图，直线 $y = k_{1} x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 $k_{1} x < \frac{k_{2}}{x} + b$ 的解为（）

A、 $- 5 < x < - 1$ B、 $1 < x < 5$ 或 $x < 0$ C、 $- 5 < x < - 1$ 或 $x > 0$ D、 $x < 1$ 或 $x > 5$

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10. 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形（如图1），再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A、四边形 $A B C D$ 的面积 B、四边形 $D C E G$ 的面积 C、四边形 $H G F P$ 的面积 D、 $△ G E F$ 的面积

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二、填空题

11. 请写出一个小于3的无理数；

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12. 分解因式： $a^{2} - 49 =$ ．

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13. 一个不透明的袋子里装有2个黑球和7个白球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为.

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14. 如图，已知 $⊙ O$ 的直径AB为8，点M是 $⊙ O$ 外一点，若MB是 $⊙ O$ 的切线，B为切点，且 $M B = 3$ ， Q为 $⊙ O$ 上一动点，则MQ的最小值为.

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15. 定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则称这个矩形为“奇特矩形”.如图，在直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 是第一象限内的一个“奇特矩形”.且点 $A (4 ， 1)$ ， $B (7 ， 1)$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积为.

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16. 如图，一张矩形纸片 $A B C D$ 中， $\frac{B C}{A B} = m$ （m为常数）.将矩形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使点A落在 $B C$ 边上的点H处，点D的对应点为点M， $C D$ 与 $H M$ 交于点P.当点H落在 $B C$ 的中点时，且 $\frac{C P}{C D} = \frac{1}{3}$ ，则 $m =$ .

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三、解答题

17.

(1)、计算： $a (2 - a) + {(a + 3)}^{2}$ .

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x > 2 \\ 1 - x \leq 2 \end{array}$

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18. 如图，在 $5 \times 5$ 的方格纸中，点A，B是方格中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

(1)、在图1中画出线段 $A B$ 的中点O；

(2)、在图2中画出一个 $▱ A M B N$ ，使 $A M = \sqrt{2} A B$ ，且 $▱ A M B N$ 为格点四边形.

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19. 抛物线 $y = (x + 1) (x - t)$ （t为常数）经过点 $A (4 ， 5)$ ， $B (m ， n)$

(1)、求t的值；

(2)、若 $n < 5$ ，求m的取值范围.

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20. 某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图.
请根据以上信息解答下列问题：

(1)、课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、该校共有1200名男生，小明认为“全校男生中，课外最喜欢参加的项目是乒乓球的的人数约为 $1200 \times \frac{27}{300} = 108$ ”，请你判断这种说是否正确，并说明理由.

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21. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图． $A B$ 是缓降器的底板，压柄 $B C$ 可以绕着点B旋转，液压伸缩连接杆 $D E$ 的端点 $D 、 E$ 分别固定在压柄 $B C$ 与底板 $A B$ 上，已知 $B E = 12 c m$ ．

(1)、如图2，当压柄 $B C$ 与底座 $A B$ 垂直时， $∠ D E B$ 约为 $22.6 °$ ，求 $B D$ 的长；

(2)、现将压柄 $B C$ 从图2的位置旋转到与 $A B$ 成 $37 °$ 角（即 $∠ A B C = 37 °$ ），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆 $D E$ 的长．（结果保留根号）
（参考数据： $s i n 22.6 ° \approx \frac{5}{13} ， c o s 22.6 ° \approx \frac{12}{13} ， t a n 22.6 ° \approx \frac{5}{12}$ ； $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5} ， c o s 37 ° \approx \frac{4}{5} ， t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ）

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22. 如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程，y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象.

(1)、填空：a的值为， m的值为， AB两地的距离为km.

(2)、求m小时后，乙车离C站的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式.

(3)、请直接写出乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过300km时行驶时间x的取值范围.

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23. 新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段.

问题探究：

(1)、如图1，等边 $△ A B C$ 边长为3，垂直于 $B C$ 边的等积垂分线段长度为；

(2)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 6 \sqrt{3}$ ， $∠ B = 30 °$ ，求垂直于 $B C$ 边的等积垂分线段长度；

(3)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ C = 90 °$ ， $A B = B C = 6$ ， $A D = 3$ ，求出它的等积垂分线段长.

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24. $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，点I是 $△ A B C$ 的内心，连接 $A I$ 并延长交 $⊙ O$ 于点D，连接 $B D$ ，已知 $B C = 6$ ， $∠ B A C = α$

(1)、连接 $B I$ ， $C I$ ，则 $∠ B I C =$ （用含有 $α$ 的代数式表示）

(2)、求证： $B D = D I$ ；

(3)、连接 $O I$ ，若 $t a n \frac{α}{2} = \frac{3}{4}$ ，求 $O I$ 的最小值

(4)、若 $t a n \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $△ A B E$ 为等腰三角形，直接写出 $A B$ 的值.

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数字	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
频数	8	8	12	11	10	8	9	8	12	14