2023年江苏省南京市中考数学二模试题

试卷更新日期：2023-04-17 类型：中考模拟

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一、单选题（每题2分，共12分）

1. 据国家统计局统计，2022年中国 $G D P$ 超120万亿元，比上年增长 $3.0 ％$ ，将120万亿用科学记数法表示为（）

A、 $1.2 \times 1 0^{11}$ B、 $1.2 \times 1 0^{12}$ C、 $1.2 \times 1 0^{13}$ D、 $1.2 \times 1 0^{14}$

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2. 下列各式正确的是（）

A、a⁴•a⁵＝a²⁰ B、a²+2a³＝2a⁵ C、a⁴÷a＝a³ D、（-a²b³）²＝a⁴b⁹

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3. 长度分别为10，8，8，6的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒全都用上且允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为（）

A、10 B、14 C、16 D、18

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4. 上周五某股民小王买进某公司股票1000股，每股35元，下表为本周内每日股票的涨跌情况（单位：元）：
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
$+ 4$
$+ 4.5$
$- 1$
$- 2.5$
$- 6$
则在本周五收盘时，每股的价格是（）

A、34元 B、35元 C、36元 D、37元

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5. 下列各式中，正确的是（）

A、± $\sqrt[4]{16}$ ＝±2 B、 $\sqrt[4]{16}$ ＝±2 C、 $\sqrt[4]{(- 2)^{4}}$ ＝﹣2 D、﹣ $\sqrt[4]{- 16}$ ＝2

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6. 如图将 $△ A B C$ 绕点 $C (0 ， - 3)$ 旋转 $180 °$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，设点 $A^{'}$ 的坐标为 $(a ， b)$ ，则A的坐标为（）

A、 $(- a ， - b - 3)$ B、 $(- a ， - b - 6)$ C、 $(- a ， - b + 1)$ D、 $(- a ， - b - 2)$

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二、填空题（每题2分，共20分）

7. 若二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 意义，则x可以是（写出一个x的值即可）.

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8. 已知a，b互为相反数，则代数式 $a^{2} + a b - 2$ 的值为．
若 $a = {(- 2)}^{- 2}$ ，则b= ．

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9. 计算： $\sqrt{48} - \sqrt{0.75} =$ ．

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10. 方程 $2 x^{2} - 4 x = 1$ 和方程 $2 x^{2} - x = 4$ 所有实数根之积为.

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11. 已知 $△ A B C$ 三条中位线的长分别为3、4、5，则该三角形的面积为.

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12. 如图，矩形 $O A B C$ 的面积为36，对角线 $O B$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 相交于点 $D$ ，且 $O D = 2 B D$ ，则 $k$ 的值为.

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13. 如图正八边形ABCDEFGH中，延长对角线BF与边DE交于点M，则 $∠ M =$ °.

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14. 如图，AB是半圆的直径，C为半圆上一点，BC，D为弧BC上一点.连接OD，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，AE=2 $\sqrt{3}$ ，则AB的长为.

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15. 如图，已知在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点C旋转，使点B恰好落在对角线 $A C$ 上的点 $B^{'}$ 处，点A、D分别落在点 $A^{'}$ 、 $D^{'}$ 处，边 $A^{'} B^{'}$ 、 $A^{'} C$ 分别与边 $A D$ 交于点M、N，那么线段 $M N$ 的长为．

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16. 已知点 $M (2 ， 0)$ ， $⊙ M$ 的半径为1，OA切 $⊙ M$ 于点A，点P为 $⊙ M$ 上的动点，连接OP，AP，若 $△ P O A$ 是等腰三角形，则点P的坐标为．

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三、解答题（共8题，共61分）

17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 1 - \frac{1}{2} (3 - x) < x \\ 2 (x + 5) \geq 6 (x - 1) \end{array}$ 并把解集在数轴上表示出来.

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18. 为弘扬勤俭美德，落实节约政策，某旅游景点进行设施改造，将手动水龙头全部换成感应水龙头.已知改造完成后，平均每天的用水量减少 $\frac{1}{5}$ ， 48吨水可以比原来多用6天，该景点在实施改造后平均每天用水多少吨？

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19. 先化简，再求值：
$(\frac{m + 1}{m - 1} + 1) \div \frac{m + m^{2}}{m^{2} - 2 m + 1} - \frac{2 - 2 m}{m^{2} - 1}$ ，其中 $m$ 满足 $- 2 \leq m \leq 2$ ，取一个整数即可.

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20. 如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证： $EC = BD$ ；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．

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21. 某校为了了解全校400名学生参加课外锻炼的情况，随机对40名学生一周内平均每天参加课外锻炼的时间进行了调查，结果如下：（单位：分）

40 21 35 24 40 38 23 52 35 62 36 15 51 45 40 42 40 32 43 36 34 53 38 40 39 32 45 40 50 45 40 40 26 45 40 45 35 40 42 45

(1)、补全频率分布表和频率分布直方图．

分组	频数	频率
4.5﹣22.5	2	0.050
22.5﹣30.5	3
30.5﹣38.5	10	0.250
38.5﹣46.5	19
46.5﹣54.5	5	0.125
54.5﹣62.5	1	0.025
合计	40	1.000

(2)、填空：在这个问题中，总体是，样本是．由统计结果分析的，这组数据的平均数是38.35（分），众数是，中位数是．

(3)、如果描述该校400名学生一周内平均每天参加课外锻炼时间的总体情况，你认为用平均数、众数、中位数中的哪一个量比较合适？

(4)、估计这所学校有多少名学生，平均每天参加课外锻炼的时间多于30分？

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22. 初三某班举办了一场摸牌游戏，由甲、乙两名同学进行．现有5张背面完全相同的牌，正面分别标有数字-1，2，3，5，6，将五张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌后放回，乙再随机抽取一张牌．

(1)、请用列表或画树状图的方法，求两人抽取的数字相同的概率．

(2)、若两人抽取的数字差的绝对值等于1，则甲获胜；若抽取的数字差的绝对值小于1，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．

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23. 等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）

(1)、如图1，∠A＜90°；

(2)、如图2，∠A＞90°．

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24. 如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面 $145 m$ ，最低点距地面 $55 m$ ．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身 $O D$ 垂直于水平地面 $M N$ （点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $M$ ， $N$ 在同一平面内）．

(1)、求风轮叶片 $O A$ 的长度；

(2)、如图2，点 $A$ 在 $O D$ 右侧，且 $α = 14.4 °$ ．求此时风叶 $O B$ 的端点 $B$ 距地面的高度．（参考数据： $s i n 44.4 ° \approx 0.70$ ， $t a n 44.4 ° \approx 0.98$ ）

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四、综合题（共3题，共27分）

25. 【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2^③ ，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）^④ ，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把 $\frac{a \div a \div a ⋯ \div a}{n 个 a}$ （a≠0）写作a^ⓝ ，读作“a的圈n次方”.

(1)、【初步探究】
直接写出计算结果：2^③＝，（﹣ $\frac{1}{2}$ ）^④＝；

(2)、下列关于除方说法中，错误的是：　　.

A、任何非零数的圈2次方都等于1 B、对于任何正整数n，1^ⓝ＝1 C、3^④＝4^③ D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数

(3)、
【深入思考】

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）^⑤＝，（ $\frac{1}{5}$ ）^⑥＝.

(4)、想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为a^ⓝ＝.

(5)、算一算： $1 2^{2} \div (- \frac{1}{3})^{④} \times (- 2)^{⑥} - (- \frac{1}{3})^{⑥} \div 3^{3}$ ＝.

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26. 已知抛物线 $y = \frac{1}{2} (x - n) (x + n) + c$ 的图象经过坐标原点O．

(1)、求抛物线解析式．

(2)、若B，C是抛物线上两动点，直线 $B C ： y = k x + b$ 恒过点 $(0 ， 1)$ ，设直线 $O B$ 为 $y = k_{1} x$ ，直线 $O C$ 为 $y = k_{2} x$ ．
①若B、C两点关于y轴对称，求 $k_{1} k_{2}$ 的值．
②求证：无论k为何值， $k_{1} k_{2}$ 为定值．

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27. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ 之间的关系问题”进行了以下探究：

(1)、（类比探究）
如图2，在 $R t Δ A B C$ 中， $B C$ 为斜边，分别以 $A B ， A C ， B C$ 为斜边向外侧作 $R t Δ A B D ， R t Δ A C E ， R t Δ B C F$ ，若 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ，则面积 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ 之间的关系式为；

(2)、（推广验证）
如图3，在 $R t Δ A B C$ 中， $B C$ 为斜边，分别以 $A B ， A C ， B C$ 为边向外侧作任意 $Δ A B D ， Δ A C E ， Δ B C F$ ，满足 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 ， ∠ D = ∠ E = ∠ F$ ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由；

(3)、（拓展应用）
如图4， $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以它的三边向外作平行四边形， $Q C / / G S / / T H$ 交 $A B$ 于 $P$ 交 $G H$ 于 $N$ ，且 $Q C = P N$ ，若平行四边形 $A B H G$ 和平行四边形 $S Q C A$ 的面积分别为 $m$ 和 $n$ ，则平行四边形 $Q T B C$ 的面积为；

(4)、如图5，在五边形 $A B C D E$ 中， $∠ A = ∠ E = ∠ C = 105 ° ， ∠ A B C = 90 ° ， A B = 4 \sqrt{3} ， D E = 4$ ，点 $P$ 在 $A E$ 上， $∠ A B P = 30 ° ， P E = 2 \sqrt{2}$ ，求五边形 $A B C D E$ 的面积为；

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星期	一	二	三	四	五
每股涨跌	$+ 4$	$+ 4.5$	$- 1$	$- 2.5$	$- 6$