中考数学优生特训：图形变换

试卷更新日期：2023-04-16 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图是一张矩形纸片 $A B C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A D$ ， $B C$ 上， $\frac{A E}{E D} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{B F}{F C} = \frac{3}{5}$ .把该纸片沿 $E F$ 折叠，若点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $A^{'} B^{'}$ 的延长线过点 $C$ ，则 $\frac{A D}{A B}$ 的值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、4

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2. 如图是一张矩形纸片 $A B C D$ ，点E是 $A D$ 中点，点F在 $B C$ 上，把该纸片沿 $E F$ 折叠，点A、B的对应点分别为 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ ， $A^{'} E$ 与 $B C$ 相交于点G， $B^{'} A^{'}$ 的延长线经过点C.若 $\frac{B F}{G C} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{A D}{A B}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（）

A、△COF∽△CEG B、OC=3OF C、AB：AD=4：3 D、GE= $\sqrt{6}$ DF

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4. 在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且DE＝1，将△ADE沿AE对折到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.下列结论，其中正确的有（　　）个.

（1）CG＝FG；（2）∠EAG＝45°；（3）S_△EFC＝ $\frac{3}{5}$ ；（4）CF＝ $\frac{1}{2}$ GE

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图，过边长为2的等边 $△ A B C$ 的顶点C作直线 $l ⊥ B C$ ，然后作 $△ A B C$ 关于直线l对称的 $△ A^{'} B^{'} C$ ， P为线段 $A^{'} C$ 上一动点，连接 $A P$ ， $P B$ ，则 $A P + P B$ 的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 如图， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $△ A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$ ， D，E分别为 $B C$ ， $A C$ 的中点，P是 $A D$ 上的一个动点，则 $P E + P C$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、1 D、2

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7. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为a的正方形OABC绕点O顺时针旋转 $45 °$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式连续旋转2023次得到正方形 $O A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ ，那么点 $A_{2023}$ 的坐标是（）

A、（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ a， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ a） B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} a ， - \frac{\sqrt{2}}{2} a)$ C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} a ， - \frac{\sqrt{2}}{2} a)$ D、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} a ， \frac{\sqrt{2}}{2} a)$

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8. 如图所示，正方形 $B C G F$ ， $H G D E$ ， $F H M N$ 内接于五边形 $A B C D E$ ，该五边形是轴对称图形， $A B$ 与 $A E$ 为对称边， $∠ A = 90 °$ ， $A N = A M$ ，则 $\frac{C D}{A N}$ 的值是（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 分别沿 $A E$ 、 $C F$ 折叠，若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上，下列说法：①四边形 $A E C F$ 为菱形，② $∠ A E C = 120 °$ ，③若 $A B = 2$ ，则四边形 $A E C F$ 的面积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ ，④ $A B ： B C = 1 ： 2$ ，其中正确的说法有（）个.

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 5$ ，点M在CD边上，且 $D M = 2$ ， $△ A E M$ 与 $△ A D M$ 关于AM所在的直线对称，延长CB到点F，使得 $B F = D M$ ，分别连接AF，EF，则线段EF的长为（）．

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{29}$ C、 $\sqrt{34}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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11. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点 $A^{'}$ ， $D^{'}$ 处，且 $A^{'} D^{'}$ 经过点B，EF为折痕，当 $D^{^{'}} F$ ⊥CD时， $\frac{C F}{D F}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} - 1}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{8}$

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二、填空题

12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 60 °$ ， D为线段 $A B$ 的中点，点E，F分别在 $A C$ ， $B C$ 上， $B F = 3 F C$ ，且 $E F ∥ A B$ ，沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折叠得到 $△ G D E$ ，若 $A E = 2 \sqrt{3}$ ，则 $A G$ 的长是．

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13. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F.则下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为 $2 \sqrt{3}$ ；③若点F恰好落在弧BC上，则AD= $2 \sqrt{5}$ ④当AD=2时，与半圆相切；⑤当点D从点A运动到点B时，线段 EF扫过的面积是 $16 \sqrt{3}$ 。其中正确结论的序号是。

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14. 何老师在一次“探析矩形折叠问题”的公开课上，与同学们一起对折纸进行了如下探究：已知正方形 $A B C D$ 边长为1，G是 $A B$ 边的中点，E是射线 $D C$ 上的一个动点.

(1)、如图① ，若点E在线段 $D C$ 上且点E与点C不重合，连结 $B E$ ，将 $△ B C E$ 沿着 $B E$ 翻折，使点C落在 $D G$ 上的点M处，连结 $C M$ 延长交 $A D$ 边于点F且 $C F ⊥ D G$ ，则 $E H · C F$ 的值为

(2)、若点E与点C不重合，以点C为圆心，线段 $G E$ 的长为半径作 $⊙ C$ ，当 $⊙ C$ 与线段 $D G$ 只有一个公共点时， $C E$ 的取值范围是.

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15. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，点M是边 $C D$ 的中点，将 $△ B C M$ 沿直线 $B M$ 翻折，使得点C落在同一平面内的点E处，联结 $A E$ 并延长交射线 $B M$ 于点F，那么 $E F$ 的长为．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ，点 $E$ 为线段 $C D$ 的中点，动点 $F$ 从点 $C$ 出发，沿 $C \to B \to A$ 的方向在 $C B$ 和 $B A$ 上运动，将矩形沿 $E F$ 折叠，点 $C$ 的对应点为 $C^{'}$ ，当点 $C^{'}$ 恰好落在矩形的对角线上时，点 $F$ 运动的距离为.

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17. 如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为．

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18. 如图，正方形ABCD，AB＝2，点E为AD上一动点，将三角形ABE沿BE折叠，点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE＝．

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19. 如图，等腰三角形 $ABC$ 的底边 $BC$ 长为 $4$ ，面积是 $16$ ，腰 $AC$ 的垂直平分线 $EF$ 分别交 $AC$ ， $AB$ 边于点 $E$ ， $F$ ，若点 $D$ 为 $BC$ 边的中点，点 $M$ 为线段 $EF$ 上一动点，则 $△ CDM$ 周长的最小值为．

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20. 如图1，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝26˚，分别以BE、CE为折痕进行折叠压平，如图2，若图2中∠AED＝n°，则∠DEC的度数为．

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21. 如图，一次函数y＝- $\frac{3}{4}$ x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为.

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三、解答题

22. 古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A ， B ．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．

如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C ，点C就是所求的位置．

证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC ， B′C′，

∵直线l是点B ， B′的对称轴，点C ， C′在l上，

∴CB= ▲ ， C′B= ▲ ，

∴AC +CB=AC+CB′= ▲ ．

在△AC′B′，

∵AB′＜AC′+C′B′，

∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．

本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A ， B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A ， C ， B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．

拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB = 90°，BD平分∠ABC交AC于D ，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC + PM的值最小时P的位置．（可用三角尺）

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23. 已知一个等边三角形纸片 $O A B$ ，将该纸片放置在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，使边 $O A$ 与 $y$ 轴的正半轴重合，点 $B$ 落在第一象限，过点 $B$ 作 $B C$ 垂直于 $x$ 轴，垂足为点 $C$ ．

（Ⅰ）如图①，若点 $A$ 坐标为 $(0 ， 4)$ ，求 $B C$ 的长；

（Ⅱ）如图②，将四边形 $O A B C$ 折叠，使点 $A$ 落在线段 $O C$ 上的点为点 $D$ ， $H K$ 为折痕，点 $H$ 在 $O A$ 上，点 $K$ 在 $A B$ 上，且使 $D K / / y$ 轴．

①试判断四边形 $A H D K$ 的形状，并证明你的结论；

②求 $\frac{O H}{O D}$ 的值；

（Ⅲ）如图③，将四边形 $O A B C$ 折叠，使点 $A$ 落在线段 $O C$ 上的点 $D$ 与 $C$ 点重合， $H K$ 为折痕，点 $H$ 在 $O A$ 上，点 $K$ 在 $A B$ 上，求 $\frac{O H}{O C}$ 的值（直接写出结果即可）．

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24. 在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 4)$ ，以点A为旋转中心，把 $△ A B O$ 顺时针旋转，得 $△ A C D$ .

（Ⅰ）如图①，当旋转后满足 $D C / / x$ 轴时，求点C的坐标.

（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 $O B$ 上的一点P旋转后的对应点为 $P^{'}$ ，当 $D P + A P^{'}$ 取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）

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25. 如图1，将矩形 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，使顶点 $A$ 落在 $D C$ 上的点 $A^{'}$ 处，然后将矩形展平.如图2，将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使顶点 $A$ 落在折痕 $D E$ 上的点 $G$ 处，再将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠，此时顶点 $B$ 恰好落在 $D E$ 上的点 $H$ 处.

求证： $A F = B E$

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26. 如图，一个三角形的纸片ABC ，其中∠A=∠C ．

①把△ABC纸片按(如图1)所示折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE是折痕．说明BC//DF；

②把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时(如图2)，探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；

③当点A落在四边形BCED外时(如图3)，∠C与∠1、∠2的关系是． (直接写出结论)

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四、综合题

27. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：

(1)、t为多少时， $△ P B Q$ 是等边三角形？

(2)、P、Q在运动过程中， $△ P B Q$ 的形状不断发生变化，当t为多少时， $△ P B Q$ 是直角三角形？请说明理由.

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28. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ .点 $D$ 为斜边 $A B$ 的中点， $E D ⊥ A B$ ，交边 $B C$ 于点 $E$ .点 $P$ 为射线 $A C$ 上的动点，点 $Q$ 为边 $B C$ 上的动点，且运动过程中始终保持 $P D ⊥ Q D$ .

(1)、求证： $△ A D P ∽ △ E D Q$ ；

(2)、设 $A P = x$ ， $B Q = y$ .求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出该函数的定义域；

(3)、联结 $P Q$ ，交线段 $E D$ 于点 $F$ ，当 $△ P D F$ 为等腰三角形时，求线段 $A P$ 的长.

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29. 如图，在∠DAM内部作Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．

(1)、判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；

(2)、求t为何值时，EN与⊙O相切，求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧 $\overset{⌢}{A E}$ 长度的大小；

(3)、直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）

(4)、直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．
（参考数据：sin37°＝ $\frac{3}{5}$ ， tan37°＝ $\frac{3}{4}$ ， tan74°≈ $\frac{24}{7}$ ， sin74°≈ $\frac{24}{25}$ ， cos74°≈ $\frac{7}{25}$ ）

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30. 如图1，抛物线y＝ax²+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连结PA，PF，AF．

(1)、求该抛物线所对应的函数表达式；

(2)、如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；

(3)、如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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31. 在矩形ABCD中， $A B = 4 ， B C = 2$ ，动点P从A出发，以1个单位每秒速度，沿射线AB方向运动，同时，动点Q从点C出发，以2个单位每秒速度，沿射线BC方向运动，设运动时间为t秒，连结DP，DQ．

(1)、如图1．证明： $D P ⊥ D Q$ ．

(2)、作 $∠ P D Q$ 平分线交直线BC于点E；
①图2，当点E与点B重合时，求t的值．

②连结PE，PQ，当 $△ P B E$ 与 $△ P D Q$ 相似时，求t的值．

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32. 已知：如图1：在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A C = 8 c m$ ，在 $B C$ 下方作 $B D ⊥ C D$ 于点D， $∠ D B C = 30 °$ ，动点E从点A开始沿 $A C$ 边以 $2 c m / s$ 的速度运动，动点F从点C开始沿 $C B$ 边以 $1 c m / s$ 的速度运动．点E和点F同时出发，当点E到达点C时，点F也随之停止运动．设动点E的运动时间为 $t s (0 < t < 4)$ ，解答下列问题：

(1)、连接 $E F$ ，当t为何值时，点C在线段 $E F$ 的垂直平分线上；

(2)、在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 $△ E F C$ 是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(3)、在（2）的条件下，请直接写出 $△ E F D$ 的面积．

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33. 动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $B C = 6 c m$ ，点 $P$ 在线段 $B A$ 上从点B出发向点A运动（点 $P$ 不与点 $A$ 重合），点 $P$ 运动的速度为 $2 c m / s$ ；点 $Q$ 在线段 $C B$ 上从点 $C$ 出发向点B运动（点 $Q$ 不与点B重合），点 $Q$ 运动的速度为 $3 c m / s$ ，设点 $P$ ， $Q$ 同时运动，运动时间为 $t s$ ．

(1)、在点 $P$ ， $Q$ 运动过程中，经过几秒时 $△ P B Q$ 为等边三角形？

(2)、在点 $P$ ， $Q$ 运动过程中，若某时刻 $△ P B Q$ 为直角三角形，请计算运动时间 $t$ ．

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