备考2023年中考数学嘉兴卷变式阶梯训练：第24题

试卷更新日期：2023-04-15 类型：三轮冲刺

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一、原题

1. 小东在做九上课本123页习题：“1： $\sqrt{2}$ 也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1： $\sqrt{2}$ ．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．

(1)、你赞同他的作法吗？请说明理由．

(2)、小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．

②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．

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二、基础

2. 如图，点C在线段 $A B$ 上，在 $A B$ 同侧作等腰 $R t △ A C E$ 和等腰 $R t △ B C D$ ，使 $∠ E A C = ∠ B D C = 90 °$ ，连接 $B E$ ，分别交 $C D$ 于点O，交 $A D$ 于点F，

(1)、求证： $△ A C D ∽ △ E C B$ ；

(2)、若 $A C = \sqrt{2}$ ， $C B = 4 \sqrt{2}$ ，求 $A F$ 的长．

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3. 在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，连接AE，CD交于点O，且∠ADC＝∠AEC，

(1)、求证： $B D \cdot A B = B E \cdot B C$ ：

(2)、当D为边AB的中点时，且CE＝4
①若2AO＝3OE，求AB
②若△AEC为等腰直角三角形，且∠EAC＝90°，求四边形BDOE的面积．

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4. 如图，在△ABC中，AB= $4 \sqrt{2}$ ，∠B=45°，∠C=60°.

(1)、求BC边上的高线长.

(2)、点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数.

②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长.

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5. 【问题呈现】

(1)、如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD=CE．

(2)、【类比探究】
如图2， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则 $\frac{B D}{C E} =$ ．

(3)、如图3， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE．
①求 $\frac{B D}{C E}$ 的值；

②延长 $C E$ 交 $B D$ 于点G．交 $A B$ 于点F．求 $∠ B G C$ ．

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6.

(1)、【问题提出】如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C$ ， D是 $A B$ 边上一点，F是 $B C$ 边上一点，连接 $C D$ 、 $F D$ ， $∠ C D F = 45 °$ .求证： $△ A C D ∽ △ B D F$ ；

(2)、【问题探究】
如图2，在四边形 $A B F C$ 中，点D是 $A B$ 边的中点，连接 $C D$ 、 $F D$ ， $∠ A = ∠ B = ∠ C D F = 45 °$ ，若 $A C = 9 ， B F = 8$ ，求线段 $A B$ 的长；

(3)、【问题解决】
某市进行绿化改造，美化生态环境.如图3，现有一块三角形的荒地 $A B C$ 计划改造公园，经测量 $A B = 400 \sqrt{2}$ 米， $∠ B = 45 °$ ，按设计要求，要在三角形公园 $A B C$ 内建造一个以A为直角顶点的等腰直角三角形活动场所 $A D E$ ，且顶点D、顶点E分别在边 $B C$ 、 $A C$ 上，且 $C E = 200 \sqrt{5}$ 米，请求出符合设计要求的等腰直角三角形活动场所 $A D E$ 的顶点D所在的位置（即 $C D$ 的长）.

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三、进阶

7. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ，过点A作 $A D ⊥ B C$ 于点D，过点B作 $B E ⊥ A C$ 于点E， $A D$ 与 $B E$ 相交于点H，连接 $D E$ . $∠ A E B$ 的平分线 $E F$ 交 $A B$ 于点F，连接 $D F$ 交 $B E$ 于点G.

(1)、求证： $∠ D B G = ∠ D A E$

(2)、试探究线段 $A E$ ， $B E$ ， $D E$ 之间的数量关系；

(3)、若 $C D = \sqrt{2} A F ， B E = 6$ ，求 $G H$ 的长.

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8. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为D，CE平分∠ACB，交⊙O于E.

(1)、求证：PC与⊙O相切；

(2)、若AC=6，tan∠BEC= $\frac{2}{3}$ ，求BE的长度以及图中阴影部分面积.

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9. 如图，AB为⊙O的直径，AC，BC是⊙O的两条弦，过点C作∠BCD＝∠A，CD交AB的延长线于点D.

(1)、试说明：CD是⊙O的切线；

(2)、若tanA＝ $\frac{3}{4}$ ，求 $\frac{B D}{A B}$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若AB＝7，DE平分∠ADC交AC于点E，求ED的长.

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10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

(1)、∠EDC的度数为；

(2)、连接PG，求△APG 的面积的最大值；

(3)、PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；

(4)、求 $\frac{C H}{C E}$ 的最大值．

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11. 等腰直角三角形OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，点D为OA中点，DC⊥OB，垂足为C，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM，如图①.

(1)、求证：AM＝CM；

(2)、将图①中的△OCD绕点O逆时针旋转90°，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM、OM，如图②.
①求证：AM＝CM，AM⊥CM；

②若AB＝4，求△AOM的面积.

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12. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点.

(1)、如图1，若CD⊥AB，求证：AC²=AD·AB；

(2)、如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且 $\frac{F H}{H E} = \frac{4}{9}$ ，求 $\frac{A D}{B D}$ 的值；

(3)、如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为.

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13. △ABC中，AB＝AC＝a，∠EDF的顶点D是底边BC的中点，两边分别与AB、AC交于点F、E，研究BF和CE之间的数量关系．为此，可以用从特殊到一般的方法进行研究．

(1)、研究特例．如图1，∠A＝90°，∠EDF＝90°，当E，F的位置变化时，BF+CE是否随之变化？证明你的结论；

(2)、变式迁移．如图2，当∠A＝120°，a＝6，当∠EDF＝°时，（1）中的结论仍然成立，求出此时BF+CE的值；

(3)、推广到一般．如图3，当∠BAC和∠EDF满足什么关系时，（1）中的结论仍然成立？若G是射线BA上的一点，且BG＝BF+CE，请直接写出∠BGC的度数．

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14.

(1)、【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．

(2)、【尝试应用】
如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求 $\frac{D E}{B C}$ 的值．

(3)、【拓展提高】
如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．

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15. 如图.

(1)、问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E是线段AC上一动点，连接DE.

填空：①则 $\frac{AD}{EC}$ 的值为；②∠EAD的度数为.

(2)、类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E是线段AC上一动点，连接DE.请求出 $\frac{AD}{EC}$ 的值及∠EAD的度数；

(3)、拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长.

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16. 在 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C = 3$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 的中点，以 $C D$ 为一边作正方形 $C D E F$ ，

(1)、如图1，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；

(2)、在（1）的条件下，
①如果正方形 $C D E F$ 绕点 $C$ 旋转，连接 $B E$ 、 $C E$ 、 $A F$ ，线段 $B E$ 与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

②正方形 $C D E F$ 绕点 $C$ 旋转的过程中，当以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形时.直接写出线段AF的长.

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17. 请认真阅读下面的数学探究，并完成所提出的问题.

(1)、探究1：如图1，在边长为 $a$ 的等边三角形 $A B C$ 中， $P$ 是 $B C$ 边上任意一点，连接 $A P$ ，将 $Δ A P C$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转至 $Δ A B Q$ 处，连接 $P Q$ ，求 $Δ A P Q$ 面积的最小值.

(2)、探究2：如图2，若 $Δ A B C$ 是腰长为 $a$ 的等腰直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ，（1）中的其他条件不变，请求出此时 $Δ A P Q$ 面积的最小值.

(3)、探究3：如图3，在 $Δ A B C$ 中， $A C = a$ ， $∠ C = 30 °$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $P$ 是 $B C$ 边上任意一点，连接 $A P$ ，将 $Δ A P C$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转至 $Δ A Q D$ 处， $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线，连接 $P Q$ ，求 $Δ A P Q$ 的面积的最小值.

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18. 如图

(1)、问题发现
如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F.

填空：① $∠ A F B$ 的度数是；②线段AD，BE之间的数量关系为；

(2)、类比探究
如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形， $∠ A B C = ∠ D E C = 90 °$ ， $A B = B C$ ， $D E = E C$ ，直线AD和直线BE交于点F.请判断 $∠ A F B$ 的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由.

(3)、解决问题
如图3，在△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B = 5$ ，点D在AB边上， $D E ⊥ A C$ 于点E， $A E = 3$ ，将△ADE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离.

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19. 有两张全等的等腰直角三角形纸片 $A B C$ 和 $D E F$ ， $∠ A C B = ∠ D F E = 90 °$ ， $A C = B C = D F = E F = 12 c m$ ．

(1)、如图1，若点F在边 $A B$ 的中点M处， $A B ∥ D E$ ，将 $△ D E F$ 沿射线 $A B$ 方向平移 $a c m$ ，当四边形 $C A F D$ 是菱形时，求a的值；

(2)、若将图1中的 $△ D E F$ 以点F为旋转中心，按逆时针方向旋转一定角度， $D F$ 交 $B C$ 于点G， $E F$ 交 $A C$ 于点H，如图2，发现 $C G = H A$ ，请你证明这个结论；

(3)、若将图1中的 $△ D E F$ 沿射线 $A B$ 方向平移 $3 \sqrt{2} c m$ ，接着以点F为旋转中心，按顺时针方向旋转至 $E F$ 经过点C时， $D F$ 交 $B C$ 于点G，如图3，求出此时两张等腰直角三角形纸片重叠部分 $△ C F G$ 的面积．

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20. 问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AB＝8，长AD＝8 $\sqrt{2}$ .
动手实践：

(1)、如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点 $A^{'}$ 处，折痕为BE，连接 $A^{'} E$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $A E A^{'} B$ ，则折痕BE的长为.

(2)、如图2，永攀小组将矩形纸片ABCD沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC.再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），第二条折痕与AD交于点E.请写出OC与OA的数量关系，并说明理由.

(3)、如图3，探究小组将图1中的四边形 $A E A^{'} B$ 剪下，在AE上取中点F，将△ABF沿BF折叠得到△MBF，点P、Q分别是边 $A^{'} E ， A^{'} B$ 上的动点（均不与顶点重合），将 $△ A^{'} P Q$ 沿PQ折叠使 $A^{'}$ 的对应点N恰好落在BM上，当 $△ A^{'} P Q$ 的一个内角与 $∠ A^{'} B M$ 相等时，请直接写出 $A^{'} Q$ 的长.

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四、突破

21. 如图，在 $△ A B C$ 中，

(1)、如图①， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ . $\sin 30 ° =$ ； $\tan 15 ° =$ .

(2)、如图②， $∠ B = 2 ∠ C$ ， $B C = 5$ ， $A C = 6$ .
①求 $A B$ 的长度.

② $P$ 为边 $A C$ 上一点，以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中的两点及点 $P$ 为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出 $A P$ 的长度.

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22. 已知 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 都为等腰三角形， $A B = A C ， D E = D C ， ∠ B A C = ∠ E D C = n °$ .

(1)、当 $n = 60$ 时，
①如图1，当点D在 $A C$ 上时，请直接写出 $B E$ 与 $A D$ 的数量关系； ▲ ；

②如图2，当点D不在 $A C$ 上时，判断线段 $B E$ 与 $A D$ 的数量关系，并说明理由；

(2)、当 $n = 90$ 时，
①如图3，探究线段 $B E$ 与 $A D$ 的数量关系，并说明理由；

②当 $B E / / A C ， A B = 3 \sqrt{2} ， A D = 1$ 时，请直接写出 $D C$ 的长.

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23. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线， $A F ⊥ B E$ ，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设 $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ．
特例探索

(1)、①如图1，当 $∠ A B E = 45 °$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ 时， $a =$ ▲ ， $b =$ ▲ ；
②如图2，当 $∠ A B E = 30 °$ ， $c = 8$ 时，求a和b的值．

(2)、请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．

(3)、利用（2）中的结论，解答下列问题：
在菱形ABCD中，对角线 $A C = 6$ ， $B D = 6 \sqrt{2}$ ， O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图4所示，求 $M G^{2} + M H^{2}$ 的值．

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24. 定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在 $Δ A B C$ 与 $Δ A E D$ 中， $B A = B C ， E A = E D$ ，且 $Δ A B C \sim Δ A E D ，$ 所以称 $Δ A B C$ 与 $Δ A E D$ 为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为 $α$ ，连接 $E B ， D C$ ，则称 $\frac{D C}{E B}$ 会为“关联比"．
下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：

[特例感知]

(1)、当 $Δ A B C$ 与 $Δ A E D$ 为“关联等腰三角形”，且 $α = 90^{°}$ 时，
①在图1中，若点E落在 $A B$ 上，则“关联比” $\frac{D C}{E B}$ = ▲

②在图2中，探究 $Δ A B E$ 与 $Δ A C D$ 的关系，并求出“关联比” $\frac{D C}{E B}$ 的值．

(2)、[类比探究]
如图3，

①当 $Δ A B C$ 与 $Δ A E D$ 为“关联等腰三角形”，且 $a = 120^{°}$ 时，“关联比” $\frac{D C}{E B}$ =

②猜想：当 $Δ A B C$ 与 $Δ A E D$ 为“关联等腰三角形”，且 $α = n °$ 时，“关联比” $\frac{D C}{E B}$ = (直接写出结果，用含 $n$ 的式子表示)

(3)、[迁移运用]
如图4， $Δ A B C$ 与 $Δ A E D$ 为“关联等腰三角形”．若 $∠ A B C = ∠ A E D = 90^{°} ， A C = 4 ，$ 点 $P$ 为 $A C$ 边上一点，且 $P A = 1$ ，点E为 $P B$ 上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．

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