备考2023年中考数学嘉兴卷变式阶梯训练：第19题

试卷更新日期：2023-04-15 类型：三轮冲刺

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一、原题

1. 设 $\bar{a 5}$ 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时， $\bar{a 5}$ 表示的两位数是45．

(1)、尝试：
①当a＝1时，15²＝225＝1×2×100＋25；

②当a＝2时，25²＝625＝2×3×100＋25；

③当a＝3时，35²＝1225＝；

……

(2)、归纳： ${\bar{a 5}}^{2}$ 与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．

(3)、运用：若 ${\bar{a 5}}^{2}$ 与100a的差为2525，求a的值．

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二、基础

2. [x]表示不大于x的最大整数，如[3.25]=3，[5]=5，[-2.7]=-3，计算下列各题．

(1)、 $[\sqrt{1 \times 2}] + [\sqrt{2 \times 3}] + [\sqrt{3 \times 4}] + ... + [\sqrt{49 \times 50}]$

(2)、 $[^{3} \sqrt{1 \times 2 \times 3}] + [^{3} \sqrt{2 \times 3 \times 4}] + [^{3} \sqrt{3 \times 4 \times 5}] + ... + [^{3} \sqrt{48 \times 49 \times 50}]$

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3. 若x是不等于1的实数，我们把 $\frac{1}{1 - x}$ 称为x的差倒数，如2的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2} = - 1$ ，-1的差倒数为 $\frac{1}{1 - (- 1)} = \frac{1}{2}$ ，现已知 $x_{1} = - \frac{1}{3}$ ， $x_{2}$ 是 $x_{1}$ 的差倒数， $x_{3}$ 是 $x_{2}$ 的差倒数， $x_{4}$ 是 $x_{3}$ 的差倒数，…，依此类推.

(1)、分别求出 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的值；

(2)、计算 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}$ 的值；

(3)、计算 $x_{1} x_{2} \dots x_{2019}$ 的值.

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4. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如， $4 = 2^{2} - 0$ ， $12 = 4^{2} - 2^{2} ， 20 = 6^{2} - 4^{2}$ ，因此4，12，20这三个数都是神秘数.

(1)、28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?

(2)、设两个连续偶数为 $2 k + 2$ 和 $2 k$ （其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?

(3)、两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗?为什么?

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5. 观察下列等式，探究发现规律，并解决问题，
① $3^{2} - 3^{1} = 2 \times 3^{1}$ ；

② $3^{3} - 3^{3} = 2 \times 3^{2}$ ；

③ $3^{4} - 3^{3} = 2 \times 3^{3}$ ；

(1)、直接写出第④个等式：；

(2)、猜想第 $n$ 个等式（用含字母 $n$ 的式子表示），并说明这个等式的符合题意性；

(3)、利用发现的规律，求 $3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{10}$ 的值．（参考数据： $3^{11} = 177147$ ）

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6. 将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题： $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$
$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}$
$\frac{1}{x^{2} + 7 x + 12} = \frac{1}{(x + 3) (x + 4)} = \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4}$
$\dots$

(1)、； $\frac{1}{x^{2} + x}$ = $\frac{1}{（）}$ - $\frac{1}{（）}$

(2)、计算： $\frac{1}{x^{2} + 4 x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 8 x + 15} + \frac{1}{x^{2} + 12 x + 35}$ ．

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7. 阅读材料：求 $3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6}$ 的值.
解：设 $S = 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6}$ ①，
则 $3 S = 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} + 3^{7}$ ②.
用②-① $3 S - S = (3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} + 3^{7}) - (3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6}) = 3^{7} - 3$
$∴ 2 S = 3^{7} - 3$ .即 $S = \frac{3^{7} - 3}{2}$ .
$∴ 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} = \frac{3^{7} - 3}{2}$ .
以上方法我们称为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：

(1)、（一）棋盘摆米
这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏，阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒...按这个方法放满整个棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了.
国际象棋共有64个格子，则在第64格应放粒米；（用幂表示）

(2)、设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S.

(3)、（二）拓展应用：计算： $\frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{4^{4}} + \frac{1}{4^{5}} + ⋯ + \frac{1}{4^{n}}$ .

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8. 阅读材料：
材料一：对实数a，b，定义 $T (a ， b)$ 的含义为：当 $a < b$ 时， $T (a ， b) = a + b$ ；当 $a \geq b$ 时， $T (a ， b) = a - b$ ．例如： $T (1 ， 3) = 1 + 3 = 4$ ； $T (2 ， - 1) = 2 - (- 1) = 3$ ．
材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问： $1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 = ?$ 据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： $(1 + 100) + (2 + 99) + ⋯ + (50 + 51) = 101 \times 50 = 5050$ ．也可以这样理解：令 $S = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 100$ ①，则 $S = 100 + 99 + ⋯ + 3 + 2 + 1$ ②，①+②： $2 S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ⋯ (100 + 1) = 100 \times (1 + 100)$ ，即 $S = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = 5050$ ．
根据以上材料，回答下列问题：

(1)、已知 $x + y = 10$ ，且 $x > y$ ，求 $T (5 ， x) - T (5 ， y)$ 的值；

(2)、对于正数m，有 $T (m^{2} + 1 ， - 1) = 3$ ，求 $T (1 ， m + 99) + T (2 ， m + 99) + T (3 ， m + 99) + ⋯ + T (199 ， m + 99)$ 的值．

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三、进阶

9. 给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，第三个数记为 $a_{3}$ ，依此类推，第n个数记为 $a_{n}$ （n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{3} = 6$ ， $a_{4} = 8$ ， $a_{5} = 10$ .规定运算 $s u m (a_{1} ： a_{n}) = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n}$ .即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中， $s u m (a_{1} ： a_{3}) = 2 + 4 + 6 = 12$ .

(1)、已知一列数1， $- 2$ ， 3， $- 4$ ， 5， $- 6$ ， 7， $- 8$ ， 9， $- 10$ ，则 $a_{3} =$ ， $s u m (a_{1} ： a_{10}) =$ .

(2)、已知这列数1， $- 2$ ， 3， $- 4$ ， 5， $- 6$ ， 7， $- 8$ ， 9， $- 10$ ， …，按照规律可以无限写下去，则 $a_{2022} =$ ， $s u m (a_{1} ： a_{2022}) =$ .

(3)、在（2）的条件下否存在正整数n使等式 $| s u m (a_{1} ： a_{n}) | = 2022$ 成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由.

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10. 规定：若有理数a，b满足a-b＝ab，则a叫做b的“差积数”．例如：1- $\frac{1}{2}$ ＝1× $\frac{1}{2}$ ，那么1是 $\frac{1}{2}$ 的“差积数”； $\frac{1}{2}$ -1≠ $\frac{1}{2}$ ×1，可知 $\frac{1}{2}$ 不是1的“差积数”．请根据上述规定解答下列问题：

(1)、填表（在表格▲处填空）：
有理数x
3
4
5
▲
x的“差积数”
▲
-2

(2)、一个有理数的“差积数”等于这个数，求这个有理数；

(3)、若m为正整数，记m+1，m+2，．．．m+2022，这2022个数的“差积数”的积为A，试猜想A的值（用含有m的式子表示），并给出合理的猜想过程．

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11. 先阅读下面材科，再完成任务：
材料一：我们可以将任意三位数记为 $\bar{a b c}$ ，（其中 $a 、 b 、 c$ 分别表示该数的百位数字，十位数字和个位数字，且 $a \neq 0$ ）．显然 $\bar{a b c} ＝ 100 a + 10 b + c$ ．

材料二：若一个三位数的百位数字，十位数字和个位数字均不为 $0$ ，则称之为原始数，比如 $123$ 就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出 $5$ 个新的原始数，比如由 $123$ 可以产生出 $132 ， 213 、 231 、 312 、 321$ 这 $5$ 个新原始数，将这 $6$ 个数相加，得到的和1332称为由原始数 $123$ 生成的终止数．

任务：

(1)、分别求出由下列两个原始数生成的终止数： $248 ， 659$ ；

(2)、若由一个原始数生成的终止数为1110求满足条件的所有原始数．

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12. 阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务：
法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数 $F (n)$ 可以表示为 ${(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n - 1} + {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n - 1}$ ，其中 $n \geq 1$ ．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）
任务：

(1)、卢卡斯数列中的第1个数 $F (1) =$ ，第2个数 $F (2) =$ ；

(2)、卢卡斯数列有一个重要特征：当 $n \geq 3$ 时，满足 $F (n) = F (n - 1) + F (n - 2)$ ．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数 $F (6)$ ．

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13. 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2^③ ，读作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）^④ ，读作“-3的圈4次方”，一般地，把 $\underset{n 个 a}{\underset{︸}{a \div a \div a \div \dots \div a}}$ （a≠0）记作a^ⓝ ，读作“a的圈 n次方”.

(1)、（初步探究）
①直接写出计算结果：2^③= ，（ $\frac{1}{2}$ ）^⑤=；

②关于除方，下列说法错误的是

A.任何非零数的圈2次方都等于1；

B.对于任何正整数n，1^ⓝ=1；

C.3^④=4^③；

D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数.

(2)、（深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.

（-3）^④=； 5^⑥=；（- $\frac{1}{2}$ ）^⑩=.

②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；

③算一算： $12^{2}$ ÷(− $\frac{1}{3}$ )^④×(−2)^⑤−(− $\frac{1}{3}$ )^⑥÷ $3^{3}$

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14. 根据同底数幂的乘法法则，我们发现： $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ （其中 $a \neq 0$ ， $m$ ， $n$ 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数 $m$ ， $n$ 的一种新运算： $h (m + n) = h (m) \cdot h (n)$ ，请根据这种新运算解决以下问题：

(1)、若 $h (1) = - 1$ ，则 $h (2) =$ ； $h (2019) =$ ；

(2)、若 $h (7) = 128$ ，求 $h (2)$ ， $h (8)$ 的值；

(3)、若 $\frac{h (4)}{h (2)} = 4$ ，求 $h (2)$ 的值；

(4)、若 $\frac{h (4)}{h (2)} = 4$ ，直接写出 $\frac{h (2)}{h (1)} + \frac{h (4)}{h (2)} + \frac{h (6)}{h (3)} + \dots + \frac{h (2 n)}{h (n)}$ 的值.

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15. 若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数
例如：有理数 $\frac{3}{2}$ 与3，因为 $\frac{3}{2}$ ＋3＝ $\frac{3}{2} \times$ 3．所以有理数与 $\frac{3}{2}$ 与3是互为相依数

(1)、直接判断下列两组有理数是否互为相依数，
①－5与－2 ②－3与 $\frac{3}{4}$

(2)、若有理数 $\frac{6 m + 1}{7}$ 与 -7 互为相依数，求m的值；

(3)、若有理数a与b互为相依数，b与c互为相反数，求式子 $5 (a b + \frac{7}{5} c) - 2 (\frac{5}{2} a - b) - 4$ 的值

(4)、对于有理数a（a $\neq$ 0，1），对它进行如下操作：取a的相依数，得到 $a_{1}$ ；取 $a_{1}$ 的倒数，得到 $a_{2}$ ；取 $a_{2}$ 的相依数，得到 $a_{3}$ ；取 $a_{3}$ 的倒数，得到 $a_{4}$ ；….；依次按如上的操作得到一组数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，…， $a_{n}$ . 若a= $\frac{5}{4}$ ，试着直接写出 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，…， $a_{2018}$ 的和.

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16. 记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}$ ，令 $T_{n} = \frac{S_{1} + S_{2} + ⋯ + S_{n}}{n}$ ，我们称 $T_{n}$ 为这列数 $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}$ 的“理想数”．例如： $S_{1} = a_{1}$ ，则 $T_{1} = a_{1}$ ， $S_{2} = a_{1} + a_{2}$ ，则 $T_{2} = \frac{S_{1} + S_{2}}{2} = \frac{a_{1} + a_{1} + a_{2}}{2} = \frac{2 a_{1} + a_{2}}{2}$ ．

(1)、请直接写出 $T_{3} =$ ．

(2)、如果 $T_{4} = 20$ ，那么 $4 a_{1} + 3 a_{2} + 2 a_{3} + a_{4} =$ ．

(3)、已知 $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{500}$ 的“理想数”为2004，那么8， $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{500}$ 的“理想数”是多少？

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17. 一般地，n个相同的因数.相乘a×a×a……a×a记作aⁿ ，如2×2×2=2³=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L₂（8），则L₂（8）=3，一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为L_a（b）=n，如3⁴=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L₃（81）=4.

(1)、下列各“劳格数”的值：L₂（4）= ， L₂（16）= ， L₂（64）=.

(2)、观察（1）中的数据易4×16=64此时L₂（4），L₂（16），L₂（64）满足关系式.

(3)、由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？L_a（M）+L_a（N）=.（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）.

(4)、据上述结论解决下列问：已知，L_a（3）=0.5，求L_a（9）的值和L_a（81）的值.（a＞0且a≠1）

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四、突破

18. 一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，若关于x的方程ax＝b的解是x＝c，则称这个三位数是方程ax＝b的“协调数”，称方程ax＝b是这个三位数的“协调方程”.如：三位数200，方程2x＝0的解是x＝0，所以200就是方程2x＝0的“协调数”，方程2x＝0是这个三位数200的“协调方程”.
请根据上述材料，解决下列问题：

(1)、判断263是否是某个方程的“协调数”？方程2x＝7是否是某个三位数的“协调方程”？并说明理由；

(2)、若所有的“协调数”的个数为s，所有“协调方程”的解之和为t，求s+t的值.

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19. 我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解： $x = m \times n$ （m ， n是正整数，且 $m \leq n$ ），在x的所有这种分解中，如果m ， n两因数之差的绝对值最小，我们就称 $m \times n$ 是x的最佳分解．并规定： $f (x) = \frac{m}{n}$ ．
例如：18可以分解成 $1 \times 18$ ， $2 \times 9$ 或 $3 \times 6$ ，因为 $18 - 1 > 9 - 2 > 6 - 3$ ，所以 $3 \times 6$ 是18的最佳分解，所以 $f (18) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、填空：f(6)=；f(9)= ；

(2)、一个两位正整数t（ $t = 10 a + b$ ， $1 \leq a \leq b \leq 9$ ，a ， b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求 $f (t)$ 的最大值；

(3)、填空：
① $f (2^{2} \times 3 \times 5 \times 7) =_____________$ ；

② $f (2^{3} \times 3 \times 5 \times 7) =_____________$ ；

③ $f (2^{4} \times 3 \times 5 \times 7) =_____________$ ；

④ $f (2^{5} \times 3 \times 5 \times 7) =_____________$ ．

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20. 抗击新冠肺炎期间，某小区为方便管理，为居民设计了一个身份识别图案系统：在4×4的正方形网格中，白色正方形表示数字1，黑色正方形表示数字0，将第i行第j列表示的数记为a_i_{， j}（其中i，j都是不大于4的正整数），例如，图1中，a₁_{， 2}＝0．对第i行使用公式A_i＝a_i_{， 1}×2³+a_i_{， 2}×2²+a_i_{， 3}×2¹+a_i_{， 4}×2⁰进行计算，所得结果A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图1中，A₃＝a₃_{， 1}×2³+a₃_{， 2}×2²+a₃_{， 3}×2¹+a₃_{， 4}×2⁰＝1×8+0×4+0×2+1×1＝9，A₄＝0×8+0×4+1×2+1×1＝3，说明该居民住在9层，3号房间，即903号．

(1)、图1中，a₁_{， 3}＝；

(2)、图1代表的居民居住在号楼单元；

(3)、请仿照图1，在图2中画出8号楼4单元602号居民的身份识别图案．

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21. 阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为 $a_{1}$ ，排在第二位的数称为第二项，记为 $a_{2}$ ，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为 $a_{n}$ ．所以，数列的一般形式可以写成： $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n} ， \dots$ ．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中 $a_{1} = 1 ， a_{4} = 7$ ，公差为 $d = 2$ ．

根据以上材料，解答下列问题：

(1)、等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．

(2)、如果一个数列 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n} \dots$ ，是等差数列，且公差为d ，那么根据定义可得到：
$a_{2} - a_{1} = d ， a_{3} - a_{2} = d ， a_{4} - a_{3} = d ， \dots ， a_{n} - a_{n - 1} = d ， \dots$ ．

所以

$a_{2} = a_{1} + d$ ，

$a_{3} = a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2 d$ ，

$a_{4} = a_{3} + d = (a_{1} + 2 d) + d = a_{1} + 3 d$ ，

……

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a_n=a₁+()d ．

(3)、 $- 4040$ 是不是等差数列 $- 5 ， - 8 ， - 11 \dots$ 的项？如果是，是第几项？

(4)、如果一个数列 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n} \dots$ 是等差数列，且公差为d ，前n项的和记为 $S_{n}$ ，请用含 $a_{1}$ ，n ， d的代数式表示 $S_{n}$ ， $S_{n} =$ ．

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22. 规定：求若干个相同的有理数（均不等于 $0$ ）的除法运算叫做除方，如 $2 \div 2 \div 2$ ， $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 等，类比有理数乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 记作 $2^{③}$ ，读作“ $2$ 的圈 $3$ 次方，” $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 记作 ${(- 3)}^{④}$ ，读作：“ $- 3$ 的圈 $4$ 次方”.一般地，把 $a \underset{n 个 a}{\underset{︸}{\div a \div a \div \dots \div}} a (a \neq 0)$ 记作a^ⓝ ，读作“ $a$ 的圈 $n$ 次方”

(1)、【初步探究】
Ⅰ.直接写出计算结果： $2^{③}$ = ， ${(- \frac{1}{2})}^{⑤} =$ .

Ⅱ.关于除方，下列说法错误的是（）

A.任何非零数的圈 $3$ 次方都等于它的倒数

B.两个数互为倒数，那么它的n次方和圈n次方也互为倒数

C.对于任何正整数 $n$ ，(-1)^ⓝ=1

D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数.

(2)、【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

Ⅰ.试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.- $5^{⑥} =$ ；

${(- \frac{1}{2})}^{⑩} =$ .

Ⅱ.想一想：将一个非零有理数 $a$ 的圈 $n (n \geq 3)$ 次方写成幂的形式等于.

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有理数x	3	4	5	▲
x的“差积数”	▲			-2