备考2023年中考数学嘉兴卷变式阶梯训练：第18题

试卷更新日期：2023-04-15 类型：三轮冲刺

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一、原题

1. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

小惠：

证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，

∴AC垂直平分BD．

∴AB＝AD，CB＝CD，

∴四边形ABCD是菱形．

小洁：

这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

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二、基础

2. 如图， $∠ M A B$ 为锐角，射线 $A M / /$ 射线 $B N$ ，作 $∠ M A B$ 和 $∠ N B A$ 的平分线分别交 $B N$ 和 $A M$ 于点 $C$ 和 $D$ ，连接 $C D$ ，求证：四边形 $A B C D$ 为菱形.

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3. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ A = ∠ C$ .求证：四边形 $A B C D$ 是菱形.

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4. 如图，D、E、F分别是 $△ A B C$ 各边的中点，连接DE、EF， $A B = A C$ ，求证：四边形ADEF为菱形.

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作 $D E ∥ B C$ ，且DE=BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形．

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，BE∥CD，CE∥AB．试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，过点B作 $B P ∥ O A$ ，且 $B P = O A$ ，连接 $A P$ ，求证：四边形 $A O B P$ 是菱形.

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8. 如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF.求证：四边形AECF是菱形.

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，且对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O， $B D = 2 A B$ ， $A E // B D$ ， $O E // A B$ .

求证：四边形 $A B O E$ 是菱形.

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10. 在 $▱ A B C D$ 中，E、F分别是边BC，AD的中点，AC是对角线，过点D作DP $∥$ AC，交BA的延长线于点P，∠P=90°．求证：四边形AECF是菱形．

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11. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC，求证：四边形EFGH是菱形．

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三、进阶

12. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E在BC的延长线，连接AE分别交BD、CD于点G、F，且 $\frac{A D}{B E} = \frac{G F}{A G}$ ．

(1)、求证：AB//CD；

(2)、若 $B C^{2} = G D \cdot B D$ ， BG=GE，求证：四边形ABCD是菱形．

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13. 如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，AD $∥$ BC，点E在BC上，AB $∥$ DE，AE平分∠BAD．

(1)、求证：四边形ABED为菱形；

(2)、连接BD，交AE于点O．若AE＝6，sin∠DBE＝ $\frac{3}{5}$ ，求CD的长．

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14. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是BC边上的一点，且BF＝AB，连接EF．

(1)、求证：四边形ABFE是菱形；

(2)、连接AF，交BE于点O，若AB＝5，BE+AF＝14，求菱形ABFE的面积．

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15. 如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以B、F为圆心，大于 $\frac{1}{2} B F$ 的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则四边形ABEF是菱形．

(1)、求证：四边形ABEF是菱形；

(2)、若菱形ABEF的周长为8， $A E = 2 \sqrt{3}$ ，求∠C的大小．

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16. 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE//AB交DO的延长线于点E，连接AE．

(1)、求证：四边形AECD是菱形；

(2)、若四边形AECD的面积为 $8 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，求BC的长．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点D，点E在线段 $B D$ 上，点F在 $B D$ 的延长线上，且 $D E = D F$ ，连接 $A E$ ， $C E$ ， $A F$ ， $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(2)、若 $B A ⊥ A F$ ， $A D = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{5}$ ，求 $B D$ 和 $A E$ 的长．

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18. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $A D = 3$ ， E为AD边的一动点（不与端点重合），连接CE并延长，交BA的延长线于点F，延长EA至点G，使 $A G = A E$ ，分别连接BE，BG，FG．

(1)、在点E的运动过程中，四边形BEFG能否成为菱形？请判断并说明理由．

(2)、若 $△ B A E$ 与 $△ E D C$ 相似，求AE的长．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ 交BE的延长线于点F，连接CF.

(1)、求证： $A F = D C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ， $C F = 2$ ，求四边形ADCF的周长.

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20. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且 $A O = C O$ ，点E在BD上， $∠ E A O = ∠ D C O$ ．

(1)、求证：四边形AECD是平行四边形；

(2)、若 $A B = B C$ ， $C D = 5$ ， $A C = 8$ ， $t a n ∠ A B D = \frac{2}{3}$ ，求BE的长．

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四、突破

21. ▱ ABCD 中， ∠BAD的平分线交直线 BC 于点 E，线 DC于点 F

(1)、求证： $C E = C F$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 120 °$ ， $F G / / C E$ ， $F G = C E$ ，求 $∠ B D G$ .

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22. 已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，点D为BC边上一动点，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE．

(1)、当AD平分∠BAC时，如图1，四边形ADCE是形；

(2)、过E作EF⊥AC于F，如图2，求证：F为AC的中点；

(3)、若AB=2，
①当D为BC的中点时，过点E作EG⊥BC于G，如图3，求EG的长；
②点D从B点运动到C点，则点E所经过路径长为 ▲ ． (直接写出结果)

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23. 如图1，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 9$ ， $B C = 12$ ，点 $P$ 是 $B C$ 边上的点，连结 $A P$ ，以 $A P$ 为对称轴作 $△ A B P$ 的轴对称图形 $△ A Q P$ .

(1)、如图2，当点 $Q$ 正好落在 $A D$ 边上时，判断四边形 $A B P Q$ 的形状并说明理由；

(2)、如图1，当点 $P$ 是线段 $B C$ 的中点且 $C Q = 4$ 时，求 $A P$ 的长；

(3)、如图3，当点 $P ， Q ， D$ 三点共线时，恰有 $∠ P Q C = ∠ P Q A$ ，求 $B P$ 的长.

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24. 定义：只有三边相等的四边形称为准菱形.

(1)、如图1，图形（填序号）是准菱形；

(2)、如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，求证：四边形ABCD是准菱形；

(3)、如图3，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别落在y轴，x轴上，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）的图象分别与边AB，BC交于点D，E.已知AD＝DE，△ADE的面积为10，AD：DB＝5：3，若点F是坐标平面上一点，四边形ADEF是准菱形，当准菱形ADEF面积最大时，求点F的坐标.

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25. 在学完菱形后，某教学兴趣小组尝试利用手中的数学工具——三角板和圆规作出一个内角为60°的菱形，下面是他们探究过程中的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：可以尝试利用含60°角的三角板和圆规作出菱形．如图①，将三角板ABC放置在图纸上、延长直角边BA，以点C为圆心、CA长为半径作弧，以点A为圆心、AC长为半径作弧，交BA的延长线于点E，交上弧于点D，连接CD，DE，则四边形ACDE即为所求作的菱形．

小华：我可以在不利用三角板的前提下，作出符合要求的菱形．如图②，作半圆O及其直径AB、分到以点OB为圆心、大于 $\frac{1}{2} O B$ 的长为半径作弧，两弧交于点MN，作直线MN交半径圆O于点C；以点C为圆心、OC长为半径作弧，交半圆O于点D，连接AD，CD，CO，则四边形AOCD即为所作的菱形．

任务：

(1)、小明的做法中，判断四边形ACDE是菱形的依据可能是（填序号）
①四条边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形

(2)、请证明小明作出的图形四边形ACDE是菱形．

(3)、你认为小华作出的四边形AOCD是有一个角为60°的菱形吗？请判断并说理由．

(4)、如图③，小齐利用含45°角的三角板ABC和圆规构造了菱形ABMN，已知点P是线段MC上的一个点，AB＝10，当 $∠ P A B = 15 °$ 时，请直接写出点P到直线MN的距离．

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