备考2023年中考数学嘉兴卷变式阶梯训练：第17题

试卷更新日期：2023-04-15 类型：三轮冲刺

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一、原题

1.

(1)、计算： ${(1 - \sqrt[3]{8})}^{0} - \sqrt{4}$ ．

(2)、解方程： $\frac{x - 3}{2 x - 1} = 1$ ．

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二、基础

2.

(1)、计算： $2^{- 2} - (\sqrt{2} - 1)^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{2}$ ．

(2)、解分式方程： $\frac{1}{x - 3} + 2 = \frac{4 - x}{3 - x}$ ．

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3.

(1)、计算： $\sqrt{12} + | \sqrt{3} - 3 | - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ；

(2)、解方程： $\frac{2}{x - 2} - 1 = \frac{3}{2 - x}$

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4. 计算：

(1)、 $\frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x + 1} =$ 2；

(2)、 ${(- 2)}^{2}$ ﹣（3﹣5） $- \sqrt{4} +$ 2×（﹣3） $+ \sqrt[3]{- 64}$ ．

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5.

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} - | \sqrt{2} - 3 | - (2022 - π)^{0}$

(2)、解方程： $\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{3}{x^{2} - 1} = 1$

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6.

(1)、计算： ${(- \frac{1}{3})}^{- 1} + {(\sqrt{27})}^{0} - 4 \times (- 3) - | - 5 |$

(2)、解方程： $\frac{3 x - 2}{x - 1} = \frac{5}{1 - x}$

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7.

(1)、计算： $(2022 - \sqrt{22})^{0} + \sqrt{\frac{1}{3}} + | 3 - \sqrt{12} | + (\frac{1}{2})^{- 2}$ ；

(2)、解方程： $\frac{3}{x - 3} = 1 - \frac{3 x}{3 - x}$ .

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8.

(1)、计算 $(3 \sqrt{18} + \frac{1}{5} \sqrt{50} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}}) \div \sqrt{32}$

(2)、解分式方程 $\frac{4}{x^{2} - 1} + 1 = \frac{3 - x}{1 - x}$

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9.

(1)、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 2} - {(3.14 - π)}^{0} - | 1 - \sqrt{2} |$

(2)、解方程： $\frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x}$

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10. 按要求解答下列各题：

(1)、计算： $\sqrt{25} - （ 2022 - π ）^{0} + （ \frac{1}{2} ）^{- 1}$ ；

(2)、解方程： $\frac{1 - x}{x - 3} + 2 = \frac{1}{3 - x}$ ．

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11. 计算：

(1)、 ${(- 1)}^{2022} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - {(π - 3.14)}^{0} - \frac{1}{| - 2 |}$

(2)、 $\frac{x}{x - 3} - 1 = \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$ ．

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三、进阶

12.

(1)、计算： $2 s i n 60 ° + \sqrt{12} + | - 2023 | - {(π + \sqrt{2})}^{0}$

(2)、解方程： $\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{3}{x^{2} - 1} = 1$

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13. 解答题：

(1)、计算： $- {(\frac{1}{2})}^{- 2} + 2 s i n 60 ° + | \sqrt{3} - 2 | - {(2023 - π)}^{0}$ ；

(2)、解方程： $\frac{2 - x}{3 - x} + 1 = \frac{1}{x - 3}$ .

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14.

(1)、计算： $2 s i n 60 ° - | \sqrt{3} - 2 | - \sqrt{12} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$ .

(2)、解方程 $\frac{x}{x - 1} + \frac{2}{1 - x} = 2$

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15.

(1)、计算： $| - 2 | - 3 t a n 60 ° + {(2 \sqrt{3})}^{0} + \sqrt{12}$

(2)、解方程： $\frac{x}{x + 2} - 1 = \frac{8}{x^{2} - 4}$

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16. 计算

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + t a n 60 ° - (3 - π)^{0} + | \sqrt{3} - 3 |$ .

(2)、解分式方程： $\frac{x}{x + 1} = \frac{x}{3 x + 3} + 1$ .

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17. 计算求解

(1)、计算： $| 1 - \sqrt{3} | + \sqrt{12} - 4 s i n 60 °$ ；

(2)、解方程： $\frac{2 x + 9}{3 x - 9} = \frac{4 x - 7}{x - 3} + 2$ ．

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18.

(1)、计算： $| - 3 | - \sqrt{12} + 2 \sin 30^{°} + {(- 1)}^{2021}$ .

(2)、解分式方程： $\frac{2 x + 3}{x - 2} - 1 = \frac{x - 1}{2 - x}$ .

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19.

(1)、计算： $4 cos 30 ° + 2021^{0} - \sqrt{12}$ ；

(2)、解分式方程： $\frac{2}{x - 3} = \frac{1}{x - 1}$ .

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20. 计算与解方程：

(1)、 $3^{- 1} - \frac{\sqrt{3}}{3} t a n 30 ° + \sqrt{8}$

(2)、 $\frac{4}{x} - \frac{x + 2}{2 x} = 1$

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21. 计算或因式分解：

(1)、计算： $\sqrt{4} +$ （ $\sqrt{2022} - \sqrt{2021}$ ）⁰﹣（ $- \frac{1}{3}$ ）^﹣² $- \sqrt[3]{- 27}$ ．

(2)、化简： $\frac{2 a + 2}{a - 1} \div (a + 1) - \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1}$ ．

(3)、解方程： $\frac{2 x}{x + 3} - 1 = \frac{9}{2 x + 6}$ ．

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22. 计算

(1)、计算 $(- 1)^{2022} - \sqrt[3]{8} + (π - 3.14)^{0} - (- \frac{1}{5})^{- 1}$

(2)、化简： $(2 x^{2} y^{- 3})^{3} (- x y^{- 2})^{- 2}$ （结果中不出现负整数指数幂）

(3)、解方程① $\frac{x - 3}{4 - x} - 1 = \frac{1}{x - 4}$ .
② $\frac{x}{x - 1} - \frac{3}{x^{2} + x - 2} = 1$

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四、突破

23. 计算题

(1)、求值：2 $\sqrt{2}$ sin45°+（﹣3）²﹣2017⁰×|﹣4|+ ${(\frac{1}{6})}^{- 1}$ ；

(2)、先化简，再求值：（ $\frac{3}{x - 1}$ ﹣x﹣1）÷ $\frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中x是不等式组 ${\begin{matrix} x - 3 (x - 2) \geq 2 \\ 4 x - 2 < 5 x - 1 \end{matrix}$ 的一个整数解．

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24. 我们用 $[a]$ 表示不大于a的最大整数， $a - [a]$ 的值称为数a的相对小数部分．如［2.13]=2，2.13的相对小数部分为2.13－［2.13]=0.13．

(1)、 $[\sqrt{7}] =$ ， $\sqrt{7}$ 的相对小数部分= ，－3.2的相对小数部分= ．

(2)、设 $\sqrt{5}$ 的相对小数部分为m，求 $(\sqrt{5} + [\sqrt{5}]) m$ 的值．

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25.

(1)、【观察】 $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ ； $\frac{1}{3 \times 4}$ ＝ $\frac{1}{12}$ ， $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ＝ $\frac{1}{12}$ ， ……
$\frac{1}{1 \times 3} = \frac{1}{3}$ ， $1 - \frac{1}{3} =$ $\frac{2}{3}$ ； $\frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10}$ ， $\frac{1}{2} - \frac{1}{5} =$ $\frac{3}{10}$ ……
【猜想】 $\frac{1}{n (n - 1)} =$ 　； $\frac{1}{n (n + a)} =$ 　；（n，a为正整数）

(2)、【拓展】
①利用你发现的规律巧计算 $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} ⋯ + \frac{1}{2 n (2 n + 2)}$
②利用上述规律巧解方程： $\frac{1}{(x - 1) (x - 2)}$ ＋ $\frac{1}{x (x - 1)}$ ＝ $\frac{1}{x}$ ．

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26. 数学上，我们把 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |$ 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ ，例 $| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix} | = 2 \times 5 - 3 \times 4 = - 2$ ，请根据阅读理解上述材料解答下列各题：

(1)、 $| \begin{matrix} - 6 & 4 \\ 3 & \frac{1}{2} \end{matrix} | =$ ；

(2)、计算： $| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} | + | \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} | + \cdot \cdot \cdot + | \begin{matrix} 97 & 98 \\ 99 & 100 \end{matrix} |$

(3)、已知实数 $a ， b$ 满足行列式 $| \begin{matrix} a - 1 \\ - a^{2} + b a - 1 \end{matrix} | = 5$ ，求代数式 $\frac{5 a - 3 b - 4 a b}{2} + 2 a b - b + 2$ 的值.

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27. 阅读材料，并完成下列问题：
已知分式方程：① $x + \frac{2}{x}$ ＝3，②x+ $\frac{6}{x}$ ＝5，③x+ $\frac{12}{x}$ ＝7．

其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程②的解有2个：x＝2或x＝3；方程③的解有2个：x＝3或x＝4．

(1)、观察上述方程的特点，再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系，猜想方程x+ $\frac{30}{x}$ ＝11的解是．

(2)、关于x的方程x+ $\frac{2020}{x}$ ＝101+ $\frac{100}{m}$ 有2个解，它们是x＝101或x＝ $\frac{100}{m}$ ，根据所猜想的规律，求m的值．

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28. 我们把形如 $x + \frac{a b}{x} = a + b (a ， b$ 不为零 $)$ ，且两个解分别为 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ 的方程称为“十字分式方程”.
例如 $x + \frac{3}{x} = 4$ 为十字分式方程，可化为 $x + \frac{1 \times 3}{x} = 1 + 3$ ， $∴ x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ .

再如 $x + \frac{8}{x} = - 6$ 为十字分式方程，可化为 $x + \frac{(- 2) \times (- 4)}{x} = (- 2) + (- 4)$ ， $∴ x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = - 4$ .

应用上面的结论解答下列问题：

(1)、若 $x + \frac{6}{x} = - 5$ 为十字分式方程，则 $x_{1} =$ ， $x_{2} =$ .

(2)、若十字分式方程 $x - \frac{5}{x} = - 2$ 的两个解分别为 $x_{1} = m$ ， $x_{2} = n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值.

(3)、若关于 $x$ 的十字分式方程 $x - \frac{2 k^{2} + 3 k}{x - 2} = - k - 1$ 的两个解分别为 $x_{1}$ ， $x_{2} (k > 0 ， x_{1} > x_{2})$ ，求 $\frac{x_{1} - 2}{x_{2} + 1}$ 的值.

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