备考2023年中考数学温州卷变式阶梯训练：第24题

试卷更新日期：2023-04-15 类型：三轮冲刺

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一、原题

1. 如图1， AB 为半圆O的直径，C为 BA 延长线上一点， CD 切半圆于点D， BE⊥CD ，交 CD 延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5，BE=3．点P，Q分别在线段 AB、BE上（不与端点重合），且满足 $\frac{A P}{B Q} = \frac{5}{4}$ ．设BQ=x，CP=y．

(1)、求半圆O的半径．

(2)、求y关于x的函数表达式．

(3)、如图2，过点P作 PR⊥CE 于点R，连结 PQ、RQ．
①当 △PQR 为直角三角形时，求x的值．

②作点F关于 QR 的对称点 F' ，当点 F'落在 BC上时，求 $\frac{C F^{'}}{B F^{'}}$ 的值．

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二、基础

2. 如图，在Rt $△$ ABC中， $∠ B A C = 90 °$ ，点O为BC上一点，以O为圆心、OB为半径的⊙ $O$ 切AC于点D，连接OA、BD、OA与BD相交于点E.

(1)、求证：BD平分 $∠ A B C$ ；

(2)、若 $∠ C = 30 °$ ， ⊙ $O$ 的半径为10，求OE的长.

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3. 如图，从 $⊙ O$ 外一点 $P$ 引割线 $P B C$ ， $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，连接 $O B$ ， $A C$ ， $∠ O B C = ∠ P$ .

(1)、求证： $∠ B C A + ∠ P = 45 °$ ；

(2)、已知 $O B = 5$ ， $P A = 7$ ，求 $B C$ 的长.

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4. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．

(1)、求证： $B C ∥ P F$ ；

(2)、若⊙O的半径为 $\sqrt{5}$ ， DE＝1，求AE的长度；

(3)、在（2）的条件下，求 $△ D C P$ 的面积．

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5. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B$ 与弦 $C D$ 互相垂直，垂足为H，点E是弧 $B D$ 上一点，连接 $A C$ ，过点E作直线 $E M$ 交 $A B$ 的延长线于点M，交 $C D$ 的延长线于点G，连接 $A E$ 交 $C D$ 于点F，且 $E G = F G$ .

(1)、求证： $E G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $E M ∥ A C$ ，求证： $A F \cdot F G = E F \cdot C F$ ；

(3)、在（2）的条件下，若 $A H = 4$ ， $\tan G = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{F H}{E M}$ 的值.

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6. 如图，圆心在坐标原点的⊙O ，与坐标轴的交点分别为A、B和C、D ．弦CM交OA于P ，连结AM ，已知tan∠PCO＝ $\frac{2}{3}$ ，PC、PM是方程x²﹣px+20＝0的两根．

(1)、求C点的坐标；

(2)、写出直线CM的函数解析式；

(3)、求△AMC的面积．

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， O为 $A B$ 上一点，经过点A的 $⊙ O$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点E，F， $B C$ 与 $⊙ O$ 相切于点D，连接 $O F$ ， $A D$ 相交于点G.

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、求证： $A D^{2} = A B \cdot A F$ ；

(3)、若 $B E = 8$ ， $s i n B = \frac{5}{13}$ ，求 $A D$ 的长.

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8. 如图， $D$ 是以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 的切线 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ D E$ 交 $A D$ 的延长线于点 $C$ ，垂足为点 $F$ .

(1)、求证： $A B = B C$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的直径 $A B$ 为9， $\sin A = \frac{1}{3}$ .
①求线段 $B F$ 的长；

②求线段 $B E$ 的长.

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C H$ 是 $⊙ O$ 的切线， $C H ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点 $H$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ 交 $C E$ 于点 $G$ .

(1)、求证： $B C = C D$ ；

(2)、若 $\sin ∠ D B A = \frac{3}{5}$ ， $C G = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(3)、在（2）的条件下，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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10. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E， $A B = 10$ ， $C D = 6$ ，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．

(1)、如图1，当 $D P = 4$ 时，求 $\tan ∠ P$ 的值；

(2)、如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设 $D P = x$ ， $\frac{S_{△ Q A C}}{S_{△ Q D C}} = y$ ．
①求证： $∠ A C Q = ∠ C P A$ ；

②求y与x之间的函数关系式．

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11. 已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.

(1)、如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；

(2)、如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证： $\frac{D I}{D E} = \frac{C A}{C E}$ ；

(3)、探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC=8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.

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12. 如图，已知扇形AOB的半径 $O A = 8$ ， $∠ A O B = 90 °$ ，点C，D分别在半径OA，OB上（点C不与点A重合），连结CD．

(1)、当 $\sin ∠ O D C = \frac{4}{5}$ ， $B D = C D$ 时，求OC的长．

(2)、点P是弧AB上一点， $P C = P D$ ．
①当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求证： $P C ⊥ P D$ ．

②当 $O C = 4$ ， $∠ P D O = 90 °$ 时，求 $\frac{S_{△ P C D}}{S_{△ O C D}}$ 的值．

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三、困难

13. 如图，点O是△ABC中AB边上一点，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O恰好经过点C，且与边BC，AB分别交于E，F两点.连接AE，过点E作⊙O的切线，交线段BF于点M，交AC的延长线于点N，且EM=BM，EB=AO.

(1)、求 $∠ E A M$ 的度数；

(2)、求证： $A C^{2} = 2 B M \cdot O B$ ；

(3)、若 $O A = \sqrt{3}$ ，求 $Δ C N E$ 的面积.

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14. 如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E.

(1)、求证：∠BPD=∠BAC.

(2)、连接EB，ED，当 tan∠MAN=2 AB= $2 \sqrt{5}$ 时，在点P的整个运动过程中.
①若∠BDE=45°，求PD的长.

②若ΔBED为等腰三角形，求直接写出所有满足条件的BD的长.

(3)、连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC∥BE时，记ΔOFPP的面积为S₁ ， ΔCFE 的面积为S₂ ，请求出 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C = B C = 4$ ，以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A D$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $E F ⊥ A D$ .

(2)、填空：
①当 $∠ B =$ $°$ 时，四边形 $A O E F$ 为正方形；

②当 $A F =$ 时，四边形 $A B C D$ 为菱形.

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16. 如图，已知 $A D$ ， $E F$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D = 6 \sqrt{2}$ ， $⊙ O$ 与 $▱ O A B C$ 的边 $A B$ ， $O C$ 分别交于点 $E$ ， $M$ ，连接 $C D$ 并延长，与 $A F$ 的延长线交于点 $G$ ， $∠ A F E = ∠ O C D$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $G F = 1$ ，求 $\cos ∠ A E F$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $∠ A B C$ 的平分线 $B H$ 交 $CO$ 于点 $H$ ，连接 $A H$ 交 $⊙ O$ 于点 $N$ ，求 $\frac{A B}{N H}$ 的值.

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17. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，点P为AC上一点，PD⊥AB于点D，连结PB，以PD为直径的圆交BP于点E，交AC于点F，连结DE，DF，EF．

(1)、求证：∠DEF=∠ABC．

(2)、当△DEF为等腰三角形时，求所有满足条件的AP的长．

(3)、如图2，过D作DM∥EF交PB于点M，若点M为PB的中点，则DM $=$ ．（直接写出答案）

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18. 已知AC是平行四边形ABCD的一条对角线，且AB=AC，⊙O是 $Δ A B C$ 的外接圆，CD与⊙O的另一个交点为E，连结AE.

(1)、当点E在线段CD上时，如图1.
①求证： $Δ A B C$ ∽ $Δ A E D .$

②若 $\tan ∠ A B C = 3$ ， $Δ A E C$ 的面积为 $\frac{81}{5}$ ，求⊙O的半径.

(2)、当点E在直线CD上时，过点E作EH⊥AB于H，直线EH与直线BC交于点F. 如图2，若 $C E = \frac{1}{2} H E$ 时，求 $\frac{S_{Δ A B C}}{S_{Δ C E F}}$ 的值.

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19. 如图1，⊙O的弦 $B C = 6$ ， $A$ 为 $B C$ 所对优弧上一动点且 $\sin ∠ B A C = \frac{3}{5}$ ， $△ A B C$ 的外角平分线 $A P$ 交⊙O于点 $P$ ，直线 $A P$ 与直线 $B C$ 交于点 $E$ .

(1)、求证：点 $P$ 为 $\overset{⌢}{B A C}$ 的中点；

(2)、如图2，求⊙O的半径和 $P C$ 的长；

(3)、若 $△ A B C$ 不是锐角三角形，则 $P A \cdot A E$ 的最大值为.

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20. （提出问题）
如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变.

(1)、（特殊位置探究）
当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；

(2)、（一般规律探究）
如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x， $\frac{A F}{B F} =$ y.

①求证：∠ACQ＝∠CPA；

②求y与x之间的函数关系式；

(3)、（解决问题）
当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比.（直接写出答案）

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