备考2023年中考数学温州卷变式阶梯训练:第23题

试卷更新日期:2023-04-15 类型:三轮冲刺

一、原题

  • 1. 根据以下素材,探索完成任务.

    如何设计拱桥景观灯的悬挂方案?

    素材1

    图1中有一座拱桥,图2是其抛物线形桥拱的示意图,某时测得水面宽 20m ,拱顶离水面 5m .据调查,该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高.

    素材2

    为迎佳节,拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼,如图3.为了安全,灯笼底部距离水面不小于 1m ;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼,且挂满后成轴对称分布.

    问题解决

    任务1

    确定桥拱形状

    在图2中建立合适的直角坐标系,求抛物线的函数表达式.

    任务2

    探究悬挂范围

    在你所建立的坐标系中,仅在安全的条件下,确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.

    任务3

    拟定设计方案

    给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量,并根据你所建立的坐标系,求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.

二、基础

  • 2. 有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为12m.现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中.

    (1)、求这条抛物线的解析式.
    (2)、一艘宽为4米,高出水面3米的货船,能否从桥下通过?
  • 3. 有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为6m , 桥洞的跨度为12m , 如图建立直角坐标系.

    (1)、求这条抛物线的函数表达式.
    (2)、求离对称轴2m处,桥洞离水面的高是多少m
  • 4. 如图,一个高3米的涵洞的剖面示意图为一段抛物线,涵洞底部宽AB=6米,涵洞内水面宽度MN=4米.

    (1)、请建立适当的平而直角坐标系,并求出抛物线的函数关系式;
    (2)、求涵洞内的水深.
  • 5. 如图是一座抛物线形的拱桥,拱桥在竖直平面内,与水平桥相交于A,B两点,拱桥最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为拱桥底部的两点,DEAB.

    (1)、以C为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系,求出此时抛物线的解析式.(忽略自变量取值范围)
    (2)、若DE=48m,求E点到直线AB的距离.
  • 6. 如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2米时,水面宽4米.

    (1)、以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系,请在图中画出坐标系,并求出抛物线的解析式;
    (2)、当水面下降1米时,水面宽度增加了多少米?
  • 7. 现要修建一条隧道,其截面为抛物线型,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10m , 该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.

    (1)、求满足设计要求的抛物线的函数表达式;
    (2)、现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯.已知点A、B到OE的距离均为6m , 求点A、B的坐标.
  • 8. 如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m时,桥洞与水面的最大距离是5m.

    (1)、建立如图的直角坐标系,求抛物线的解析式;
    (2)、一艘货船宽8m,水面两侧高度2m,能否安全通过此桥?

三、进阶

  • 9. 如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时桥下水面AB的宽度为20m , 这时拱高(点O到AB的距离)为4m

    (1)、你能求出在图(a)的坐标系中,抛物线的函数表达式吗?
    (2)、如果将直角坐标系建成如图(b)所示,抛物线的形状、表达式有变化吗?
  • 10. 如图,正常水位时,抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m , 此时拱桥的最高点到水面的距离为4m

    (1)、把拱桥看作一个二次函数的图象,建立恰当的平面直角坐标系,求出这个二次函数的表达式;
    (2)、当水面宽10m时,达到警戒水位,如果水位以0.2m/h的速度持续上涨,那么达到警戒水位后,再过多长时间此桥孔将被淹没?
  • 11. 如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度6米,底部宽度OM为12米,现以O点为原点,OM所在的直线为x轴建立直角坐标系.

    (1)、求这条抛物线的解析式;
    (2)、若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”,已知支架的高度为4米,则这个“支撑架”总长是多少米?
  • 12. 如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.

    (1)、求AB所在圆的半径r的长;
    (2)、当洪水上升到跨度只有30米时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否要采取紧急措施?并说明理由.
  • 13. 一座桥如图,桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米.
    (1)、如图,若把桥看做是抛物线的一部分,建立如图坐标系.

    ①求抛物线的解析式;②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?

    (2)、如图,若把桥看做是圆的一部分.

    ①求圆的半径;②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?

  • 14. 如图1,某桥拱截面可视为抛物线的一部分如图2,在某一时刻,桥拱内的水面宽OA=10m , 桥拱顶点B到水面的距离是4m.

    (1)、按图2所示建立平面直角坐标系,求桥拱部分抛物线的函数表达式;
    (2)、一只竹筏径直向桥驶来,当竹筏驶到桥拱下方时,桥下水位刚好在OA处,有名身高1.72m的工人站立在离O点1.25m处的竹筏上清理垃圾,他的头顶是否会触碰到桥拱,请说明理由(假设竹筏与水面齐平).
  • 15. 如图是某抛物线形拱桥的截面图.某数学小组对这座拱桥很感兴趣,他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米.设AB上的点E到点A的距离AE=x米,点E到拱桥顶面的垂直距离EF=y米.

    通过取点、测量,数学小组的同学得到了x与y的几组值,如下表:

    x(米)

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    y(米)

    0

    1.75

    3

    3.75

    4

    3.75

    3

    1.75

    0

    (1)、拱桥顶面离水面AB的最大高度为米;
    (2)、请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系,描出上表中各对对应值为坐标的点,并用平滑的曲线连接;
    (3)、测量后的某一天,由于降雨原因,水面比测量时上升1米.现有一游船(截面为矩形)宽度为4米,船顶到水面的高度为2米.要求游船从拱桥下面通过时,船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米.结合所画图象,请判断该游船是否能安全通过:(填写“能”或“不能”).
  • 16. 如图所示.三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB为10m,顶点M距水面6m(即MO=6m),小孔顶点N距水面4m(即NC=4m),建立如图所示的平面直角坐标系.

    (1)、求出大孔抛物线的解析式;
    (2)、现有一艘船高度是4.5m,宽度是4m,为了保证安全,船顶距离桥拱顶部至少0.5m,则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔?
    (3)、当水位上涨到刚好淹没小孔时,求出此时大孔的水面宽度EF.
  • 17. 如图①是一条抛物线形状的拱桥,水面宽AB为6米,拱顶C离水面的距离为4米.

    (1)、建立恰当的坐标系,并求出抛物线的解析式;
    (2)、一艘货船的截面如图②所示,它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形,货船的宽度KH为5米,货物高度MN为3米.若船弦离水面的安全距离为0.25米,请问货船能否安全通过桥洞?说明理由.

四、突破

  • 18. 如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面.经测量,两侧墙ADBC与路面AB垂直,隧道内侧宽AB=8米,为了确保隧道的安全通行,工程人员在路面AB上取点E,测量点E到墙面AD的距离AE , 点E到隧道顶面的距离EF . 设AE=x米,EF=y米.通过取点、测量,工程人员得到了x与y的几组值,如下表:

    x(米)

    0

    2

    4

    6

    8

    y(米)

    4.0

    5.5

    6.0

    5.5

    4.0

    (1)、根据上述数据,直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为      ▲ 米,并求出满足的函数关系式y=a(xh)2+k(a<0)
    (2)、请你帮助工程人员建立平面直角坐标系.描出上表中各对对应值为坐标的点,画出可以表示隧道顶面的函数的图象.
    (3)、若如图2的汽车在隧道内正常通过时,汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米.按照这个要求,隧道需标注的限高应为多少米(精确到0.1米)?
  • 19. 我们在学习了《浙教版数学九年级上册》P17探究活动,“已知:如图为一座拱桥的示意图,当水面宽为12m时,桥洞顶部离水面4m已知桥洞的拱形是抛物线”,现以水平方向AB为x轴,若小明同学以C为顶点求出了函数表达式是y=19x2

    探究一:

    (1)、若小红同学以A为顶点求出了函数表达式是 .
    (2)、在(1)条件下,求出该抛物线在水面AB中的倒影所在抛物线函数表达式为 .
    (3)、一艘宽为4米,高出水面3米的货船,能否从桥下通过?
    (4)、探究二:
    若已知桥洞的拱形是圆的一部分,当水面宽为12m时,桥洞顶部离水面4m,该圆半径为 .
  • 20. 某城门的截面由一段抛物线和一个正方形(OMNE为正方形)的三条边围成,已知城门宽度为4米,最高处距地面6米.如图1所示,现以O点为原点,OM所在的直线为x轴,OE所在的直线为y轴建立直角坐标系.

    (1)、求上半部分抛物线的函数表达式,并写出其自变量的取值范围;
    (2)、有一辆宽3米,高4.5米的消防车需要通过该城门,请问该消防车能否正常进入?
    (3)、为营造节日气氛,需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD,该“装饰门”关于抛物线对称轴对称,如图2所示,其中AB,AD,CD为三根承重钢支架,A、D在抛物线上,B,C在地面上,已知钢支架每米70元,问搭建这样一个矩形“装饰门”,仅钢支架一项,最多需要花费多少元?
  • 21. 如图1是一座抛物线型拱桥,图2是其在直角坐标系中的侧面示意图.在正常水位时水面宽AB=24m , 此时水面离桥拱顶部的距离为6m

    (1)、按如图2所示的直角坐标系,求此抛物线的函数表达式;
    (2)、如图3,因某种需要,在桥拱顶部及桥的两端树立了三根支柱OEACBD架设钢缆,在钢缆和桥面之间竖直悬挂若干安全绳,过相邻支柱顶端的钢缆具有相同的抛物线形状,且左、右两条抛物线关于y轴对称,左面钢缆抛物线可以用y=112x2+x+4表示.

    ①求左、右面两条钢缆的最低点之间的距离是多少?

    ②求安全绳长度(钢缆和桥面之间距离)的最小值是多少?

  • 22. 如图,一个单向隧道的断面,隧道顶是一条抛物线的一部分,经测量,隧道顶的跨度为4米,最高处到地面的距离为4米,两侧墙高均为3米,距左侧墙壁1米和3米时,隧道高度均为3.75米.设距左侧墙壁水平距离为x米的地点,隧道高度为y米.

    请解决以下问题:

    (1)、在网格中建立适当的平面直角坐标系,根据题中数据描点,并用平滑的曲线连接;
    (2)、请结合所画图象,写出抛物线的对称轴;
    (3)、今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶,如果卡车载物后的高度为3.2米,要求卡车从隧道中间通过时,为保证安全,要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米,结合所画图象,试判断该卡车能否通过隧道.
  • 23. 如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面.经测量,两侧墙AD和与路面AB垂直,隧道内侧宽AB=4米.为了确保隧道的安全通行,工程人员在路面AB上取点E,测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF.设AE=x米,EF=y米.通过取点、测量,工程人员得到了x与y的几组值,如下表:

    x(米)

    0

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    2.5

    3.0

    3.5

    4.0

    y(米)

    3.00

    3.44

    3.76

    3.94

    3.99

    3.92

    3.78

    3.42

    3.00

    (1)、隧道顶面到路面AB的最大高度为米;
    (2)、请你帮助工程人员建立平面直角坐标系,描出上表中各对对应值为坐标的点,画出可以表示隧道顶面的图象.

    (3)、今有宽为2.4米,高为3米的货车准备在隧道中间通过(如图2).根据隧道通行标准,其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米.结合所画图象,请判断该货车是否安全通过:(填写“是”或“否”).