备考2023年中考数学温州卷变式阶梯训练：第23题

试卷更新日期：2023-04-15 类型：三轮冲刺

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一、原题

1. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1	图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面 5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高．
素材2	为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1	确定桥拱形状	在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	探究悬挂范围	在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3	拟定设计方案	给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．

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二、基础

2. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m.现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中.

(1)、求这条抛物线的解析式.

(2)、一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

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3. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为6 $m$ ，桥洞的跨度为12 $m$ ，如图建立直角坐标系.

(1)、求这条抛物线的函数表达式.

(2)、求离对称轴2 $m$ 处，桥洞离水面的高是多少 $m$ ？

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4. 如图，一个高3米的涵洞的剖面示意图为一段抛物线，涵洞底部宽 $A B = 6$ 米，涵洞内水面宽度 $M N = 4$ 米．

(1)、请建立适当的平而直角坐标系，并求出抛物线的函数关系式；

(2)、求涵洞内的水深．

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5. 如图是一座抛物线形的拱桥，拱桥在竖直平面内，与水平桥相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为拱桥底部的两点，DE $∥$ AB．

(1)、以C为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，求出此时抛物线的解析式．（忽略自变量取值范围）

(2)、若DE＝48m，求E点到直线AB的距离．

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6. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．

(1)、以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出抛物线的解析式；

(2)、当水面下降1米时，水面宽度增加了多少米？

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7. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 $O E$ 表示水平的路面，以O为坐标原点，以 $O E$ 所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求： $O E = 10 m$ ，该抛物线的顶点P到 $O E$ 的距离为 $9 m$ .

(1)、求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)、现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯.已知点A、B到 $O E$ 的距离均为 $6 m$ ，求点A、B的坐标.

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8. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．

(1)、建立如图的直角坐标系，求抛物线的解析式；

(2)、一艘货船宽8m，水面两侧高度2m，能否安全通过此桥？

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三、进阶

9. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时桥下水面 $A B$ 的宽度为 $20 m$ ，这时拱高（点O到 $A B$ 的距离）为 $4 m$ ．

(1)、你能求出在图（a）的坐标系中，抛物线的函数表达式吗？

(2)、如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？

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10. 如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为 $20 m$ ，此时拱桥的最高点到水面的距离为 $4 m$ ．

(1)、把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；

(2)、当水面宽 $10 m$ 时，达到警戒水位，如果水位以 $0.2 m / h$ 的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？

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11. 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系.

(1)、求这条抛物线的解析式；

(2)、若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4米，则这个“支撑架”总长是多少米？

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12. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．

(1)、求 $\overset{⌢}{A B}$ 所在圆的半径r的长；

(2)、当洪水上升到跨度只有30米时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？并说明理由．

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13. 一座桥如图，桥下水面宽度 $A B$ 是20米，高 $C D$ 是4米.

(1)、如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

(2)、如图，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？

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14. 如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分如图2，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $O A = 10 m$ ，桥拱顶点B到水面的距离是 $4 m$ .

(1)、按图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

(2)、一只竹筏径直向桥驶来，当竹筏驶到桥拱下方时，桥下水位刚好在 $O A$ 处，有名身高 $1.72 m$ 的工人站立在离O点 $1.25 m$ 处的竹筏上清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设竹筏与水面齐平）.

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15. 如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离 $A E = x$ 米，点E到拱桥顶面的垂直距离 $E F = y$ 米．
通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：
x（米）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y（米）
0
1.75
3
3.75
4
3.75
3
1.75
0

(1)、拱桥顶面离水面AB的最大高度为米；

(2)、请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；

(3)、测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：（填写“能”或“不能”）．

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16. 如图所示．三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即 $M O = 6 m$ ），小孔顶点N距水面4m（即 $N C = 4 m$ ），建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)、求出大孔抛物线的解析式；

(2)、现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？

(3)、当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．

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17. 如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽AB为6米，拱顶C离水面的距离为4米．

(1)、建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式；

(2)、一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，货船的宽度KH为5米，货物高度MN为3米．若船弦离水面的安全距离为0.25米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由．

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四、突破

18. 如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙 $A D$ 和 $B C$ 与路面 $A B$ 垂直，隧道内侧宽 $A B = 8$ 米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面 $A B$ 上取点E，测量点E到墙面 $A D$ 的距离 $A E$ ，点E到隧道顶面的距离 $E F$ ．设 $A E = x$ 米， $E F = y$ 米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米）
0
2
4
6
8
y（米）
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0

(1)、根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为 ▲ 米，并求出满足的函数关系式 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a < 0)$ ；

(2)、请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图象．

(3)、若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？

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19. 我们在学习了《浙教版数学九年级上册》P17探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向AB为x轴，若小明同学以C为顶点求出了函数表达式是 $y = \frac{1}{9} x^{2}$ ；

探究一：

(1)、若小红同学以A为顶点求出了函数表达式是 .

(2)、在（1）条件下，求出该抛物线在水面AB中的倒影所在抛物线函数表达式为 .

(3)、一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

(4)、探究二：
若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m，该圆半径为 .

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20. 某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE为正方形）的三条边围成，已知城门宽度为4米，最高处距地面6米．如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．

(1)、求上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；

(2)、有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？

(3)、为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米70元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？

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21. 如图1是一座抛物线型拱桥，图2是其在直角坐标系中的侧面示意图．在正常水位时水面宽 $A B = 24 m$ ，此时水面离桥拱顶部的距离为 $6 m$ ．

(1)、按如图2所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；

(2)、如图3，因某种需要，在桥拱顶部及桥的两端树立了三根支柱 $O E$ ， $A C$ ， $B D$ 架设钢缆，在钢缆和桥面之间竖直悬挂若干安全绳，过相邻支柱顶端的钢缆具有相同的抛物线形状，且左、右两条抛物线关于 $y$ 轴对称，左面钢缆抛物线可以用 $y = \frac{1}{12} x^{2} + x + 4$ 表示．
①求左、右面两条钢缆的最低点之间的距离是多少？
②求安全绳长度（钢缆和桥面之间距离）的最小值是多少？

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22. 如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．
请解决以下问题：

(1)、在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；

(2)、请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；

(3)、今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．

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23. 如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设

A E = x

米，

E F = y

米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：

x（米）	0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5	4.0
y（米）	3.00	3.44	3.76	3.94	3.99	3.92	3.78	3.42	3.00

(1)、隧道顶面到路面AB的最大高度为米；

(2)、请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．

(3)、今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：（填写“是”或“否”）．

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x（米）	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y（米）	0	1.75	3	3.75	4	3.75	3	1.75	0