鲁教版（五四制）2022-2023学年度第二学期八年级数学二次根式的性质期中复习

试卷更新日期：2023-04-14 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 下列根式为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ D、 $\sqrt{12}$

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2. 下列二次根式中，可以与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\sqrt{3 a}$

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3. 若 $\sqrt{12 - n}$ 是整数，则满足条件的自然数n共有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知 $\sqrt{2 x - 4} + | y - 1 | = 0$ ，则 $x y$ 的值为（）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 4$ C、2 D、4

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{\frac{15}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{30}$ C、 $\sqrt{9 \frac{1}{4}} = 3 \frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$

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6. 下面的推导中开始出错的步骤是（）
因为 $2 \sqrt{3} = \sqrt{2^{2} \times 3} = \sqrt{12}$ ， ①
$- 2 \sqrt{3} = \sqrt{{(- 2)}^{2} \times 3} = \sqrt{12}$ ， ②
所以 $2 \sqrt{3} = - 2 \sqrt{3}$ .③
所以 $2 = - 2$ .④

A、① B、② C、③ D、④

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7. 化简二次根式 $\sqrt{\frac{b^{3}}{a}} (a < 0)$ 得（）

A、 $\frac{b \sqrt{a b}}{a}$ B、 $- \frac{b \sqrt{a b}}{a}$ C、 $\frac{b \sqrt{- a b}}{a}$ D、 $- \frac{b \sqrt{- a b}}{a}$

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8. 若 $\sqrt{2}$ 取1.414，则与 $\sqrt{50}$ 最接近的整数是（）

A、6 B、7 C、8 D、10

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9. 若k，m，n都是整数，且 $\sqrt{135}$ ＝k $\sqrt{15}$ ， $\sqrt{450}$ ＝15 $\sqrt{m}$ ， $\sqrt{180}$ ＝6 $\sqrt{n}$ ，则下列关于k，m，n的大小关系，正确的是(　　)

A、m＜k＜n B、m＝n＞k C、m＜n＜k D、k＜m＝n

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10. 实数a、b在数轴上的位置如图，则化简 $\sqrt{(a - b)^{2}}$ 的结果是（）

A、 $a + b$ B、 $a - b$ C、 $- a + b$ D、 $- a - b$

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二、填空题

11. 已知n是一个正整数， $\sqrt{12 n}$ 是整数，则n的最小值是.

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12. 已知 $\sqrt{12 n}$ 是整数，则正整数 $n$ 的最小值为．

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13. 若 $\sqrt{12}$ 与最简二次根式 $5 \sqrt{a + 1}$ 能合并，则 $a =$ ，两式的和为

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14. 已知 $- 1 ＜ x ＜ 3$ ，化简： $\sqrt{(x - 3)^{2}} - | x + 1 | =$ .

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15. 化简： $\sqrt{{(- 9)}^{2}}$ ＝．

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三、解答题

16. 已知 $| x - 3 | + \sqrt{x - y + 1} = 0$ ，求 $\sqrt{x^{2} y + x y^{2} + \frac{1}{4} y^{3}}$ 的值．

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17. 若有理数x、y、z满足 $\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} + \sqrt{z - 2} = \frac{1}{2} (x + y + z)$ ，求 ${(x - y z)}^{3}$ 的值.

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18. 在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}}$ ，其中 $x = 9$ .

小明同学是这样计算的：

解： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}} = x - 1 + x - 10 = 2 x - 11$ .

当 $x = 9$ 时，原式 $= 2 \times 9 - 11 = 7$ .

小荣同学是这样计算的：

解： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 10)}^{2}} = x - 1 + 10 - x = 9$ .

聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？

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四、综合题

19. $\sqrt{a^{2}} = | a |$ 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：

(1)、化简： $\sqrt{(- 3)^{2}} =$ ， $\sqrt{(3 - π)^{2}} =$ ；

(2)、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 在数轴上的对应点如图所示，化简 $- | c - a | + \sqrt{(b - c)^{2}}$ ．

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20. 如图的 $4 \times 4$ 的方格中，每个小正方形的边长都为1．请画一个 $△ A B C$ ，使它的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，且 $A B = 2$ ， $A C = 4 \sqrt{\frac{1}{2}}$ ， $B C = \frac{2}{5} \sqrt{125}$ ．

(1)、在 $4 \times 4$ 的方格内画出 $△ A B C$ ．

(2)、说明所画三角形各边的长度符合要求．

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21. 在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：
结论①：若实数 $a \geq 0$ 时， ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ ；结论②：对于任意实数a， $\sqrt{a^{2}} = | a |$ ．
请根据上面的结论，对下列问题进行探索：

(1)、若 $m < 2$ ，化简： $\sqrt{{(m - 2)}^{2}} + | m - 3 |$ ．

(2)、若 $\sqrt{a^{2}} = 4$ ， $| b | = 8$ ，且 $a b > 0$ ，求 $a + b$ 的值．

(3)、若 $A = {(\sqrt{m - 2})}^{2} + | 1 - m |$ 有意义，化简 $A$ ．

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22. 有这样一道题：先化简，再求值：a+ $\sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$ ，其中a＝1000．小亮和小芳分别给出了不同的解答过程．
小亮的解答是：原式＝a+ $\sqrt{(1 - a)^{2}}$ ＝a+1-a＝1．
小芳的解答是：原式＝a+ $\sqrt{(1 - a)^{2}}$ ＝a-（1-a）＝2a-1＝2×1000-1＝1999．

(1)、的解答是错误的；

(2)、先化简，再求值：a+2 $\sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ ，其中a＝-200．

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23. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3 + 2 \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 $a + \sqrt{2} b = {(m + \sqrt{2} n)}^{2}$ （其中a、b、m、n均为正整数），则有 $a + \sqrt{2} b = m^{2} + 2 \sqrt{2} m n + 2 n^{2}$ ，
∴a＝m²+2n² ， b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分 $a + \sqrt{2} b$ 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为正整数时，若 $a + \sqrt{6} b = {(m + \sqrt{6} n)}^{2}$ ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝， b＝；

(2)、若 $a + 4 \sqrt{3} = {(m + \sqrt{3} n)}^{2}$ ，且a、m、n均为正整数，求a的值；

(3)、化简： $\sqrt{7 - \sqrt{21 + \sqrt{80}}}$ ．

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二、填空题

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