浙江省温州市普通高中2023届高三下学期数学3月第二次适应性考试试卷

试卷更新日期：2023-04-14 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 复数 $1 + \frac{1}{1 + i}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
2. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (X > 3) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (X < 1) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

查看试题解析
3. $(1 + x)^{n}$ 展开式中二项式系数最大的是 $C_{n}^{5}$ ，则 $n$ 不可能是（）

A、8 B、9 C、10 D、11

查看试题解析
4. 某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是（）

A、 $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ B、 $y = \frac{2 s i n x}{x^{2} + 1}$ C、 $y = \frac{2 c o s x}{x^{2} + 1}$ D、 $y = \frac{- x^{3} + s i n x}{x^{2} + 1}$

查看试题解析
5. 已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是 $1.5 m$ ，暴雨后的水面宽为 $2 m$ ，暴雨来临之前的水面宽为 $4 m$ ，暴雨后的水面离桥拱顶的距离为（）

A、 $0.5 m$ B、 $1 m$ C、 $1.5 m$ D、 $2 m$

查看试题解析
6. 一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ ．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为 $X_{1} ， X_{2}$ ．设 $Y_{1} = {\begin{array}{l} X_{1} ， X_{1} \geq X_{2} \\ X_{2} ， X_{1} < X_{2} \end{array}$ ，设 $Y_{2} = {\begin{array}{l} X_{1} ， X_{1} \leq X_{2} \\ X_{2} ， X_{1} > X_{2} \end{array}$ ，记事件 $A =$ “ $Y_{1} = 5$ ”， $B =$ “ $Y_{2} = 3$ ”，则 $P (B ∣ A) =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{11}$

查看试题解析
7. 已知 $a = e^{0.1} ， b = \sqrt[3]{1.3} ， c = 1.0 5^{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

查看试题解析
8. 已知正四棱锥 $O - A B C D$ 的底面边长为 $\sqrt{6}$ ，高为3．以点 $O$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球 $O$ 与过点 $A ， B ， C ， D$ 的球 $O_{1}$ 相交，相交圆的面积为 $π$ ，则球 $O_{1}$ 的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ 或 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{97}}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{97}}{4}$ D、 $\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{6}$

查看试题解析

二、多选题

9. $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若存在 $a ， b ， c \in R$ ，使得 $S_{n} = a \cdot b^{n} + c$ ，则（）

A、 $a + c = 0$ B、 $b$ 是数列 ${a_{n}}$ 的公比 C、 $a c < 0$ D、 ${a_{n}}$ 可能为常数列

查看试题解析
10. 已知圆的方程为 $(x - m)^{2} + (y - m)^{2} = m^{2}$ ，对任意的 $m > 0$ ，该圆（）

A、圆心在一条直线上 B、与坐标轴相切 C、与直线 $y = - x$ 不相交 D、不过点 $(1 ， 1)$

查看试题解析
11. 蜜蜂是自然界的建筑大师，在18世纪初，法国数学家马拉尔迪指出，蜂巢是由许许多多类似正六棱柱形状的蜂房（如图）构成，其中每个蜂房的底部都是由三个全等的菱形构成，每个菱形钝角的余弦值是 $- \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $A B$ $∥$ 平面 $E D D_{1} E_{1}$ B、 $A B ⊥ E F$ C、蜂房底部的三个菱形所在的平面两两垂直 D、该几何体的体积与以六边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 为底面，以 $B B_{1}$ 为高的正六棱柱的体积相等

查看试题解析
12. 函数 $f (x) = (x + \frac{a}{x}) l n | x | + b (a ， b \in R)$ ，则（）

A、 $\exists a \in R$ ，使得 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上递减 B、 $\exists a ， b ∈ R$ ，使得直线 $y = 2 x - 1$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线 C、 $\exists a \in R$ ，使得 $b$ 既为 $f (x)$ 的极大值也为 $f (x)$ 的极小值 D、 $\exists a ， b ∈ R$ ，使得 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} = 1$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， λ)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ ．

查看试题解析
14. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相交于 $A ， B$ 两点，且抛物线的焦点 $F$ 也是椭圆的焦点，若直线 $A B$ 过点 $F$ ，则椭圆的离心率是．

查看试题解析
15. 平面内有四条平行线，相邻两条间距为1，每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是．

查看试题解析
16. 若数列 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ 满足 $a_{1} + a_{4} = a_{2} + a_{3}$ ，则称此数列为“准等差数列”．现从 $1 ， 2 ， \dots ， 9 ， 10$ 这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知三棱锥 $D - A B C$ 中，△ $B C D$ 是边长为3的正三角形， $A B = A C = A D ， A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求证： $A D ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $D - A C - B$ 的平面角的正弦值．

查看试题解析
18. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为1的等差数列，公差 $d > 0 ， {b_{n}}$ 是首项为2的等比数列， $a_{4} = b_{2} ， a_{8} = b_{3}$ ．

(1)、求 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 的第 $m$ 项 $b_{m}$ ，满足______（在①②中任选一个条件）， $k \in N^{*}$ ，则将其去掉，数列 ${b_{n}}$ 剩余的各项按原顺序组成一个新的数列 ${c_{n}}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前20项和 $S_{20}$ ．
① $l o g_{4} b_{m} = a_{k}$ ② $b_{m} = 3 a_{k} + 1$ ．

查看试题解析
19. 在一次全市的联考中，某校高三有100位学生选择“物化生”组合，100位学生选择“物化地”组合，现从上述的学生中分层抽取100人，将他们此次联考的化学原始成绩作为样本，分为6组： $[60 ， 65) ， [65 ， 70) ， [70 ， 75) ， [75 ， 80) ， [80 ， 85) ， [85 ， 90]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.01
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、求直方图中 $a$ 的值；

(2)、在抽取的100位学生中，规定原始成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“不够优秀"，请将下面的 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并判断是否有 $90 %$ 的把握认为成绩是否优秀与所选的组合有关？

优秀
不够优秀
总计
“物化生”组合
40
“物化地”组合
总计

(3)、浙江省高考的选考科目采用等级赋分制，等级赋分的分差为1分，具体操作步骤如下：
第一步：将原始成绩从高到低排列，按人数比例划分为20个赋分区间．
第二步：对每个区间的原始成绩进行等比例转换，公式为： $\frac{s_{2} - s}{s - s_{1}} = \frac{t_{2} - t}{t - t_{1}}$
其中 $s_{1} ， s_{2}$ 分别是该区间原始成绩的最低分､最高分； $t_{1} ， t_{2}$ 分别是该区间等级分的最低分､最高分； $S$ 为某考生原始成绩， $t$ 为转换结果．
第三步：将转换结果 $t$ 四舍五入，确定为该考生的最终等级分．
本次联考采用浙江选考等级赋分制，已知全市所有的考生原始成绩从高到低前 $3 %$ （最低分为80分）的考生被划分至 $[97 ， 100]$ 的赋分区间，甲､乙两位考生的化学原始成绩分别为 $85 ､ 90$ ，最终的等级分为98､99．试问：本次联考全市化学原始成绩的最高分是否可能是91分？请说明理由．

查看试题解析
20. 已知 $△ A B C$ 满足 $2 s i n C s i n (B - A) = 2 s i n A s i n C - s i n^{2} B$ ．

(1)、试问：角 $B$ 是否可能为直角？请说明理由；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{s i n C}{s i n A}$ 的取值范围．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} x^{2} - x - x l n x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求方程 $f (x) = 0$ 的解；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为 $x_{1} ， x_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围并证明 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{1}{2 e}$ ．

查看试题解析
22. 已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C_{1} ： x^{2} - y^{2} = 2$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交双曲线右支于 $P ， A$ 两点，点 $P$ 在第一象限．

(1)、求点 $P$ 横坐标的取值范围；

(2)、线段 $P F_{1}$ 交圆 $C_{2} ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 8$ 于点 $B$ ，记 $△ P F_{2} B ， △ A F_{2} F_{1} ， △ P A F_{1}$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S$ ，求 $\frac{S}{S_{1}} + \frac{S}{S_{2}}$ 的最小值．

查看试题解析

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.01	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

	优秀	不够优秀	总计
“物化生”组合		40
“物化地”组合
总计