浙江省金华十校2022-2023学年高三下学期数学4月模拟考试预演试卷

试卷更新日期：2023-04-14 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若向量 $\vec{a} = (x ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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2. 已知集合 $M$ 满足 ${2 ， 3} \subseteq M \subseteq {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，那么这样的集合M的个数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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3. 已知 $(x + 1) {(x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3}$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 若复数 $z = i + i^{2} + i^{3} + \cdot \cdot \cdot + i^{n}$ ， $n \in N^{*}$ 则 $| z |$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比的平方不为 $1 ， b_{n} \in N^{*}$ ，则“ ${a_{b_{n}}}$ 是等比数列”是“ ${b_{n}}$ 是等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 半径为 $R$ 的球 $O$ 的直径 $A B$ 垂直于平面 $α$ ，垂足为 $B$ ， $△ B C D$ 是平面 $α$ 内边长为 $R$ 的正三角形，线段 $A C ， A D$ 分别与球面交于点 $M ， N$ ，那么三棱锥 $A - O M N$ 的体积是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{75} R^{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{25} R^{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{75} R^{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{25} R^{3}$

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7. 设函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + a x$ （ $a \in R$ ）（ $e = 2.718 ⋯$ 为自然对数的底数），若恰好存在两个正整数 $m$ ， $n$ 使得 $f (m) < 0$ ， $f (n) < 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{e^{2}}{2} ， \frac{e^{4}}{12}]$ B、 $[\frac{e^{3}}{6} ， \frac{e^{4}}{12})$ C、 $(\frac{e^{3}}{6} ， \frac{e^{2}}{2}]$ D、 $[\frac{e^{2}}{2} ， \frac{e^{4}}{12})$

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8. 如图，已知椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 具有相同的焦点 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ， A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆 $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线 $C_{2}$ 交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，若椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、4

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二、多选题

9. 已知 $s i n θ + c o s θ = \frac{1}{5}$ ， $θ \in (0 ， π)$ ，则（　　）

A、 $s i n θ c o s θ = - \frac{12}{25}$ B、 $s i n θ - c o s θ = \frac{12}{25}$ C、 $s i n θ - c o s θ = \frac{7}{5}$ D、 $t a n θ = - \frac{4}{3}$

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ，点P在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 及其边界上运动，并且总是保持 $A P ⊥ B D_{1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $V_{P - A A_{1} D} = \frac{1}{3}$ B、点P在线段 $B_{1} C$ 上 C、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、直线AP与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值的范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$

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11. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点，直线 $l$ 过 $F_{1}$ 交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为定值8 B、 $△ A B F_{2}$ 的面积最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、 ${| A F_{1} |}^{2} + {| A F_{2} |}^{2}$ 的最小值为8 D、存在直线l使得 $△ A B F_{2}$ 的重心为 $(\frac{1}{6} ， \frac{1}{4})$

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12. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n} = e^{a_{n + 1}} - c o s a_{n + 1} (n \in N^{*}) ， S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则（）

A、 $a_{n} > a_{n + 1}$ B、 $a_{n} < a_{n + 1} + a_{n + 1}^{2}$ C、 $a_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ D、 $S_{n} < 2 \sqrt{n}$

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三、填空题

13. 已知 $O (0 ， 0)$ 、 $A (3 ， 0)$ ，直线 $l$ 上有且只有一个点 $P$ 满足 $| P A | = 2 | P O |$ ，写出满足条件的其中一条直线 $l$ 的方程．

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14. 在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布 $X ∼ N (98 ， 100)$ ．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是．附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ .

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15. 已知矩形 $A B C D$ 在平面 $α$ 的同一侧，顶点 $A$ 在平面上， $A B = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，且 $A B$ ， $B C$ 与平面 $α$ 所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形 $A B C D$ 与平面 $α$ 所成角的正切值为．

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16. 定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为.

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四、解答题

17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 3$ ， M为 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C M$ ；

(2)、求点A到平面 $B_{1} C M$ 的距离.

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18. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 1 ， \frac{S_{n}}{a_{n + 1}} - \frac{S_{n}}{a_{n}} = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，试求 $T_{2 n - 1}$ 除以3的余数.

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19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得 $- 1$ 分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，甲扑到乙踢出球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙扑到甲踢出球的概率 $\frac{1}{3}$ ，且各次踢球互不影响．

(1)、经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；

(2)、求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．

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20. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $s i n A = c o s B = t a n C$ .

(1)、求 $2 A + C$ ；

(2)、证明： $c > b > \frac{2}{5} a$ .

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21. 已知抛物线 $C_{1} ： x^{2} = y$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + (y - 4)^{2} = 1 ， P$ 是 $C_{1}$ 上异于原点的一点.

(1)、设 $Q$ 是 $C_{2}$ 上的一点，求 $| P Q |$ 的最小值；

(2)、过点 $P$ 作 $C_{2}$ 的两条切线分别交 $C_{1}$ 于 $A ， B$ 两点（异于 $P$ ）.若 $| P A | = | P B |$ ，求点 $P$ 的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x ， g (x) = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{x})$ .

(1)、证明：当 $x ≥ 1$ 时， $f (x) \leq g (x)$ ；

(2)、设 $a ， b$ 为正实数且 $a \neq b$ .
（i）若 $a^{b} = b^{a}$ ，证明： $\sqrt{a b} > e$ ；
（ii）若 $a + b = 1$ ，证明： $a^{b} + b^{a} < \sqrt{a} + \sqrt{b} < a^{a} + b^{b}$ .

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