浙江省杭州市2023届高三下学期数学教学质量检测（二模）试卷

试卷更新日期：2023-04-14 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in N^{*} | x^{2} \leq 4 x}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x - 3}}$ ，则 $A ∩ ∁_{R} B =$ （）

A、 $[0 ， 3]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 设复数z满足 $z (1 + i) = - 2 + i$ （i是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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3. 在数列 ${a_{n}}$ 中，“数列 ${a_{n}}$ 是等比数列”是“ $a_{2}^{2} = a_{1} a_{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{10}$ ，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、1 B、14 C、 $\sqrt{14}$ D、 $\sqrt{10}$

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5. 某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉 $D (10 ， 2)$ 后，下列说法正确的是（）

A、相关系数r变小 B、决定系数 $R^{2}$ 变小 C、残差平方和变大 D、解释变量x与预报变量y的相关性变强

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6. 已知 $a > 1$ ， $b > 1$ ，且 $l o g_{2} \sqrt{a} = l o g_{b} 4$ ，则ab的最小值为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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7. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线 $M N / /$ 平面 $A B C$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $f (x) = s i n (ω x + ϕ)$ $(ω > 0)$ 满足 $f (\frac{π}{4}) = 1$ ， $f (\frac{5}{3} π) = 0$ 且 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{6})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $\frac{18}{17}$ C、 $\frac{6}{17}$ D、 $\frac{30}{17}$

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二、多选题

9. 若直线 $y = k x + 1$ 与圆C： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 9$ 相交于A，B两点，则 $| A B |$ 的长度可能等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 已知函数 $f (x)$ （ $x ∈ R$ ）是奇函数， $f (x + 2) = f (- x)$ 且 $f (1) = 2$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、 $f (2023) = 2$ B、 $f^{'} (x)$ 的周期是4 C、 $f^{'} (x)$ 是偶函数 D、 $f^{'} (1) = 1$

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11. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A₁：第一次取出的是红球；事件A₂：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（）

A、事件 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为互斥事件 B、事件B，C为独立事件 C、 $P (B) = \frac{2}{5}$ D、 $P (C | A_{2}) = \frac{3}{4}$

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12. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 $O_{1}$ 的一条直径，若球的半径 $r = 2$ ，则（）

A、球与圆柱的体积之比为 $2 ： 3$ B、四面体CDEF的体积的取值范围为 $(0 ， 32]$ C、平面DEF截得球的截面面积最小值为 $\frac{4 π}{5}$ D、若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $P E + P F$ 的取值范围为 $[2 + 2 \sqrt{5} ， 4 \sqrt{3}]$

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三、填空题

13. 在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为

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14. 已知 $s i n θ + c o s θ = 2 s i n α$ ， $s i n θ c o s θ = s i n^{2} β$ ，则 $4 c o s^{2} 2 α - c o s^{2} 2 β =$ ．

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15. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（ $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为焦点）上一点，点P处的切线平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ ．已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ， O为坐标原点，l是点 $P (3 ， \frac{\sqrt{10}}{2})$ 处的切线，过左焦点 $F_{1}$ 作l的垂线，垂足为M，则 $| O M | =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 e^{x} + 2 x$ 在点 $P (x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线方程为l： $y = g (x)$ ，若对任意 $x ∈ R$ ，都有 $(x - x_{0}) (f (x) - g (x)) \geq 0$ 成立，则 $x_{0} =$ ．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c o s B + s i n \frac{A + C}{2} = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a ： c = 3 ： 5$ ，且AC边上的高为 $\frac{15 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 设公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = 20$ ， $a_{3}^{2} = a_{2} a_{5}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n} + b_{n + 1} = (\sqrt{2})^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{2 n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 在三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $∠ S A B = ∠ S C B = ∠ A B C = 90 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、若 $A B = 2 ， S C = 2 \sqrt{2}$ ，求平面 $S A C$ 与平面 $S B C$ 夹角的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，点 $P$ 、 $Q$ 为椭圆上异于 $A$ 、 $B$ 的两点， $△ P A B$ 面积的最大值为 $2$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $A P$ 、 $B Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，且 $3 k_{1} = 5 k_{2}$ ．
①求证：直线 $P Q$ 经过定点．
②设 $△ P Q B$ 和 $△ P Q A$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，求 $| S_{1} - S_{2} |$ 的最大值．

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21. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…， $X_{t - 2}$ ， $X_{t - 1}$ ， $X_{t}$ ， $X_{t + 1}$ ， …，那么 $X_{t + 1}$ 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 $X_{t}$ ，即 $P (X_{t + 1} | \cdot \cdot \cdot ， X_{t - 2} ， X_{t - 1} ， X_{t}) = P (X_{t + 1} | X_{t})$ ．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 $50 %$ ，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为 $50 %$ ，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为 $A (A \in N^{*} ， A < B)$ ，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（ $0 \leq n \leq B$ ， $n \in N$ ）时，最终输光的概率为 $P (n)$ ，请回答下列问题：

(1)、请直接写出 $P (0)$ 与 $P (B)$ 的数值．

(2)、证明 ${P (n)}$ 是一个等差数列，并写出公差d．

(3)、当 $A = 100$ 时，分别计算 $B = 200$ ， $B = 1000$ 时， $P (A)$ 的数值，并结合实际，解释当 $B \to \infty$ 时， $P (A)$ 的统计含义．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{a}{x} (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 零点个数；

(2)、若 $| f (x) | > a l n x - a$ 恒成立，求a的取值范围．

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