云南省红河州2023届高三数学第二次复习统一检测试试卷

试卷更新日期：2023-04-14 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 4 \leq 0}$ ， $B = {x | l o g_{2} x < 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x < 2}$ B、 ${x | x \leq 4}$ C、 ${x | 0 < x \leq 4}$ D、 ${x | - 4 \leq x < 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z^{2} - \bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + \sqrt{3} i$ B、 $1 - \sqrt{3} i$ C、 $\sqrt{3} i$ D、 $- \sqrt{3} i$

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3. 已知函数 $f (x) = 3 t a n (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{3})$ （ $ω > 0$ ）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ，则 $ω =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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4. 《九章算术》作为古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．今有圆亭，被一过上底圆周上一点 $A$ 且垂直于底面的平面 $A B C$ 所截，截面交圆亭下底于 $B C$ ，若 $B C = 2.4$ 尺，劣弧 $B C$ 上的点到弦 $B C$ 的距离的最大值为6寸，圆亭母线长为10寸，则该圆亭的体积约为（1尺 $= 10$ 寸， $π \approx 3$ ）（）

A、3528立方寸 B、4410立方寸 C、3.528立方寸 D、4.41立方寸

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5. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了解居民节约用水的意识，随机调查了100户居民某年的月均用水量数据（单位：立方米），制成如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（）

A、该组样本数据的极差是4立方米 B、可估计全市居民用户月均用水量的中位数的估计值是2.25立方米 C、可估计全市居民用户月均用水量的众数的估计值是2立方米 D、可估计全市居民用户中月均用水量超过3立方米的约占15%

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6. 已知 $α$ 为第三象限角， $s i n α - c o s α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x + 1 ， x \leq 2 ， \\ f (x - 2) ， x > 2 ， \end{array}$ 与函数 $g (x) = l o g_{a} (x + 3)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像有且仅有一个交点，则 $a$ 的范围为（）

A、 ${a | a > 5}$ B、 ${a | a \geq 5}$ C、 ${a | 0 < a \leq 5 且 a \neq 1}$ D、 ${a | 0 < a < 5 且 a \neq 1}$

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8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点， $A$ 为虚轴的一个端点， $O$ 为坐标原点，直线 $A F_{1}$ 与 $C$ 的一条渐近线交于点 $P$ ，若 $△ O P F_{1}$ 与 $△ A P F_{2}$ 的面积相等，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ 或 $\sqrt{5}$ D、2或 $\sqrt{5}$

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二、多选题

9. 在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7．现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件 $A =$ “取到标号为2的小球”，事件 $B =$ “取到标号为6的小球”，事件 $C =$ “两个小球标号都是奇数”，事件 $D =$ “两个小球标号之和大于9”，则（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 B、事件 $C$ 与事件 $D$ 互斥 C、 $P (C) = \frac{1}{3}$ D、 $P (C \cup D) = \frac{1}{2}$

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10. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $A B = 12$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ 边上的两个三等分点， $F$ 是 $D E$ 的中点，若 $\vec{C D} \cdot \vec{C E} = 8$ ，则（）

A、 $\vec{C D} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ B、 $c o s ∠ C A B = \frac{5}{6}$ C、 $\vec{A F} \cdot \vec{A C} = 30$ D、 $| \vec{C B} | = 60$

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11. 已知曲线 $E$ ： $m x^{2} - n y^{2} = 1$ ，则（）

A、当 $m n > 0$ 时， $E$ 是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{\frac{m}{n}} x$ B、当 $- n > m > 0$ 时， $E$ 是椭圆，其离心率为 $e = \sqrt{1 + \frac{n}{m}}$ C、当 $m = - n > 0$ 时， $E$ 是圆，其圆心为 $(0 ， 0)$ ，半径为 $\sqrt{- \frac{1}{n}}$ D、当 $m \neq 0$ ， $n = 0$ 时， $E$ 是两条直线 $x = \pm \sqrt{\frac{1}{m}}$

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12. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列选项正确的是（）

A、若 $E$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心，则 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{D A} + \vec{D C} + \frac{1}{2} \vec{D D_{1}}$ B、若 $F$ 是 $A B$ 的中点， $M$ 是正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 内的动点，且 $C_{1} M / /$ 平面 $C D_{1} F$ ，则 $M$ 的轨迹的长度为 $\sqrt{2}$ C、若 $G$ 是 $A_{1} C$ 上的点，且 $\vec{A_{1} G} = λ \vec{A_{1} C}$ ， $λ \in (0 ， 1)$ ，则当 $△ A G D_{1}$ 的面积最小时， $λ = \frac{1}{3}$ D、若 $F$ ， $H$ 分别是 $A B$ ， $C C_{1}$ 的中点， $A_{1} C ∩$ 平面 $D F H = O$ ，则 $\frac{A_{1} O}{O C} = \frac{5}{2}$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = x (a e^{x} - e^{- x})$ 是偶函数，则 $a =$ ．

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14. 已知抛物线 $E$ ： $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ， $O$ 为坐标原点，若 $E$ 上存在两点 $A$ ， $B$ ，使 $△ O A B$ 为等边三角形，则 $| A F | =$ ．

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15. 若 $x = a$ 是函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - (a + 3) x + l n x$ 的极小值点，则函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4} ， 3]$ 上的最大值为．

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16. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且 $(a_{n + 1} - 1) (a_{n} - 1) = 4 (a_{n} - a_{n + 1})$ ，设 $b_{n} = 2^{n} (a_{n} - λ)$ ，其中 $λ$ 为常数．若 ${b_{n}}$ 是递减数列，则 $λ$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d > 0$ ， $a_{1} = 2$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且____．
在① $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{11}$ 成等比数列；② $\frac{S_{5}}{5} - \frac{S_{3}}{3} = 3$ ；③ $a_{n + 1}^{2} - 3 a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 3 a_{n}$ 这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答下列问题．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 1 + {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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18. 某市教育行政部门为开展普及法律常识的宣传教育活动，增强学生的法律意识，提高自身保护能力，在全市中小学生范围内，组织了一次法律常识知识竞赛（满分100分），现从所有参赛学生的竞赛成绩中随机抽取200份，经统计，这200份成绩全部介于 $[30 ， 100]$ 之间，将数据按照 $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50)$ ， ……， $[90 ， 100]$ 分成七组，得到如下频数分布表：
竞赛成绩（单位：分）
$[30 ， 40)$
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100]$
人数（单位：人）
6
14
30
74
42
23
11

(1)、试估计该市竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第80百分位数（保留一位小数）；

(2)、以样本频率值作为概率的估计值，若从该市所有参与竞赛的学生中，随机抽取3名学生进行座谈，设抽到60分及以上的学生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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19. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 s i n B = s i n A + s i n C$ ．

(1)、证明： $0 < B \leq \frac{π}{3}$ ；

(2)、求 $s i n B \cdot c o s 2 B$ 的最大值．

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20. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，菱形 $A B C D$ 所在的平面与矩形 $B D E F$ 所在的平面互相垂直．

(1)、若 $M$ 为线段 $B F$ 上的一个动点，证明： $C M$ ∥平面 $A D E$

(2)、若 $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2$ ，直线 $C F$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ ，求点 $F$ 到平面 $B C E$ 的距离．

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21. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的焦距为2， $F$ ， $A$ 分别是 $E$ 的左焦点和右顶点，点 $Q$ 在 $E$ 上，且 $\vec{Q F} \cdot \vec{Q A} = | \vec{Q F} | | \vec{Q A} | = 4$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $P (- 1 ， \frac{3}{2})$ ，直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与 $E$ 交于不同两点 $M$ ， $N$ ， $△ P M N$ 的内切圆的圆心在直线 $x = - 1$ 上，求直线 $M N$ 的斜率．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + a}{e^{x}}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $g (n) = \frac{1}{2 e^{n} - 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，证明： $g (1) + g (2) + \cdot \cdot \cdot + g (n) < \frac{3}{4}$ ．

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竞赛成绩（单位：分）	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
人数（单位：人）	6	14	30	74	42	23	11