四川省宜宾市2023届高三下学期理数第二次诊断性测试试卷

试卷更新日期：2023-04-14 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ， $B = Z$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知 $(3 - 2 i) z = 5 + i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $3 + 2 i$ D、 $2 + 3 i$

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3. 2月国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报．下图1是2018-2022年国内生产总值及其增长速度，图2是2018-2022年三次产业增加值占国内生产总值比重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）．根据图1，图2，以下描述不正确的是（）

A、2018-2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势 B、2020年与2022年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落 C、2018-2022年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为1.7% D、2020年第二产业增加值较2019年有所减少

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4. 已知函数 $f (x) = a c o s x - x^{2} - 1$ 有且只有1个零点，则实数 $a$ 的值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 四边形 $A D E H$ 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令 $∠ E A D = α$ ， $∠ F A D = β$ ，则 $t a n (β - α) =$ （）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{7}{6}$

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6. 已知某四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥最长的棱长是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 下列判断正确的是（）

A、若 $x > 1$ ，则 $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值是5 B、若 $x < y$ ，则 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ C、若 $x \in (0 ， π)$ ，则 $s i n x + \frac{2}{s i n x}$ 的最小值是 $2 \sqrt{2}$ D、若 $x > y$ ，则 $x^{2} > y^{2}$

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8. 下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中 $T$ 是房梁与该截面的交点， $A$ ， $B$ 分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子 $c_{1}$ 与 $c_{2}$ 之间的距离是 $\sqrt{3} L$ （ $L$ 为测量单位），柱子 $c_{2}$ 与 $c_{3}$ 之间的距离是 $2 \sqrt{3} L$ ．如果把 $A T$ ， $B T$ 视作线段，记 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 是 $A T$ 的四等分点， $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ ， $Q_{3}$ 是 $B T$ 的四等分点，若 $B Q_{2} = 2 L$ ，则线段 $P_{3} Q_{2}$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{7} L$ B、 $\sqrt{3} L$ C、 $\sqrt{5} L$ D、 $2 \sqrt{2} L$

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9. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = A A_{1} = 1$ ， $E$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则下列判断不正确的是（）

A、 $A_{1} C$ $∥$ 平面 $E B C_{1}$ B、点 $B_{1}$ 到平面 $E B C_{1}$ 的距离是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $E B C_{1}$ D、异面直线 $E C$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{15}$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线的右支上， $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，记 $△ P F_{1} I$ ， $△ P F_{2} I$ ， $△ I F_{1} F_{2}$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，且满足 $S_{1} = S_{2} + \frac{S_{3}}{3}$ ，则双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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11. 已知函数 $y = e^{x}$ 的图象在点 $P (a ， b)$ （其中 $a < 2$ ）处的切线与圆心为 $Q (1 ， 0)$ 的圆相切，则圆 $Q$ 的最大面积是（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n^{2} ω x + 2 s i n ω x c o s ω x - \sqrt{3} c o s^{2} ω x - 1 (ω > 0)$ ，给出下列4个结论：
① $f (x)$ 的最小值是 $- 3$ ；
②若 $ω = 1$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12})$ 上单调递增；
③将 $y = s i n x$ 的函数图象横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{4}$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数 $y = f (x)$ 的图象，则 $ω = 2$ ；
④若存在互不相同的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} \in [0 ， π]$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) = 3$ ，则 $ω \geq \frac{29}{12}$
其中所有正确结论的序号是（）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A D = 4$ ，点 $P$ 为 $A D$ 的中点，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C}) =$ ．

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14. 当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式 $k (t) = k_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{5730}}$ ，（其中 $k_{0}$ 为生物死亡之初体内的碳14含量， $t$ 为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为 $\frac{1}{8} k_{0}$ ，则该生物的死亡时间大约是年前．

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A F | + 4 | B F |$ 的最小值是．

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16. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的四个面都是边长为2的正三角形， $M$ 是 $△ A B C$ 外接圆 $O_{1}$ 上的一点， $P$ 为线段 $O_{1} D$ 上一点， $P O_{1} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ ， $N$ 是球心为 $P$ ，半径为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 的球面上一点，则 $M N$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，在中国新能源车的销量中更是一骑绝尘，占比约为30%．为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)、估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间 $[5 ， 35)$ （单位：万元）的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数；

(2)、若从中国新能源车中随机地抽出3辆，设这3辆新能源车中比亚迪汽车的数量为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， $a_{1} = 2$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n} = b_{1} b_{2} b_{3} ⋯ b_{n}$ ．
条件①： ${\frac{2 S_{n}}{n} + n}$ 是公差为2的等差数列；条件②： $\frac{1}{b_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ ．
从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = 2^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中，四边形 $D E F G$ 为过轴 $O_{1} O_{2}$ 的截面， $D G = 4 \sqrt{2}$ ， $D E = 16$ ， $△ A B C$ 为底面圆 $O_{1}$ 的内接正三角形， $A B ∥ D E$ ．

(1)、证明： $C O_{2} ⊥$ 平面 $A B F G$ ；

(2)、求平面 $F C D$ 与平面 $A B F G$ 所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右焦点为 $F (1 ， 0)$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、已知椭圆 $E$ 的上顶点 $A$ 在以点 $F$ 为圆心的圆外，过 $A$ 作圆 $F$ 的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与 $x$ 轴交于点 $B$ ，点 $C$ ， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与椭圆交于点 $P$ ，点 $Q$ （都不同于点 $A$ ），记 $△ A B C$ 面积为 $S_{1}$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{33}{16}$ ，求圆 $F$ 的方程．

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21. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ ， $g (x) = l n x$ ．

(1)、若 $0 < a \leq \frac{e}{2}$ ，求证： $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；

(2)、若存在 $a$ ，使得 $f (x) > g (x) + b$ 对于任意的 $x > 0$ 成立，求最大的整数 $b$ 的值．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} s i n (θ + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知直线 $l$ 过点 $P (1 ， 0)$ ， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $Q$ 为弦 $A B$ 的中点，且 $\frac{| P Q |}{| P A | + | P B |} = \frac{1}{3}$ ，求 $l$ 的斜率．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、 $\forall x \in [0 ， 2]$ ， $f (x) \geq a | 2 x + 1 |$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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