四川省遂宁市2023届高三理数第二次诊断性考试试卷

试卷更新日期：2023-04-14 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 ${(1 + i)}^{2} z = 2 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - i$ B、 $1 - \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + i$ D、 $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} i$

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2. 设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | \frac{x + 3}{x - 2} \leq 0}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | - 3 \leq x < 2}$ B、 ${x | - 3 \leq x < 1}$ C、 ${x | - 3 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | 1 < x \leq 2}$

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3. 某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间 $[10 ， 20]$ 内，按照 $[10 ， 12)$ ， $[12 ， 14)$ ， $[14 ， 16)$ ， $[16 ， 18)$ ， $[18 ， 20]$ 分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（）

A、20 B、40 C、60 D、88

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4. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）

A、 $y = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{1}{3} s i n 3 x$ B、 $y = s i n x - \frac{1}{2} s i n 2 x - \frac{1}{3} s i n 3 x$ C、 $y = s i n x + \frac{1}{2} c o s 2 x + \frac{1}{3} c o s 3 x$ D、 $y = c o s x + \frac{1}{2} c o s 2 x + \frac{1}{3} c o s 3 x$

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5. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s 2 α + 2 s i n 2 α = 1$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为2，下底长为4，腰长为2的等腰梯形，则该四棱台的体积为（）

A、 $\frac{28 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{56}{3}$ C、 $28 \sqrt{3}$ D、56

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7. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $l o g_{2} a < l o g_{2} b < 0$ ，则下列各项中一定成立的是（）

A、 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ B、 $s i n 2 a < s i n 2 b$ C、 $l o g_{a} e < l o g_{b} e$ D、 $a^{b} < b^{a}$

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8. 已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是正方形， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，点 $B_{1}$ 在底面 $A B C D$ 的射影为 $B C$ 中点 $H$ ，则直线 $A D_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x - c o s x$ .给出下列结论：① $f (- \frac{π}{3})$ 是 $f (x)$ 的最小值；②函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增；③将函数 $y = 2 s i n x$ 的图象上的所有点向左平移 $\frac{11 π}{6}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象.其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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10. 已知直线 $l ： y = k (x + 2) (k > 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，以线段 $A B$ 为直径的圆经过定点 $D (2 ， 0)$ ，则 $| A B | =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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11. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ，将 $△ B C D$ 绕对角线 $B D$ 所在直线旋转至 $B P D$ ，使得 $A P = \sqrt{6}$ ，则三棱锥 $P - A B D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{20 π}{3}$ C、 $\frac{20 \sqrt{15} π}{27}$ D、 $\frac{25 π}{3}$

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12. 若存在 $x_{0} \in [- 1 ， 2]$ ，使不等式 $x_{0} + (e^{2} - 1) l n a \geq \frac{2 a}{e^{x_{0}}} + e^{2} x_{0} - 2$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2 e} ， e^{2}]$ B、 $[\frac{1}{e^{2}} ， e^{2}]$ C、 $[\frac{1}{e^{2}} ， e^{4}]$ D、 $[\frac{1}{e} ， e^{4}]$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{A B} = (1 ， 2)$ ， $\vec{A C} = (2 ， t)$ ， $| \vec{B C} | = 1$ ，则实数 $t =$ .

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14. 已知 $(x + a) {(x - 2)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为 $- 60$ ，则 $a =$ .

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15. 已知 $O$ 为坐标原点，直线 $y = x + 2$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线从左往右顺次交于 $A ， B$ 两点.若 $2 | O A | = | O B |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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16. $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .若 $(2 a - c) c o s B = b c o s C$ ，且 $b = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 周长的最大值为.

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三、解答题

17. 某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：

一般
良好
合计
男
20
100
120
女
30
50
80
合计
50
150
200
附表及公式：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

(1)、通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？

(2)、该商店在春节期间开展促销活动，该产品共有如下两个销售方案.方案一：按原价的8折销售；方案二：顾客购买该产品时，可在一个装有4张“每满200元少80元”，6张“每满200元少40元”共10张优惠券的不透明箱子中，随机抽取1张，购买时按照所抽取的优惠券进行优惠.已知该产品原价为260（元/件）.顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付的金额；你认为顾客甲选择哪种购买方案较为合理？

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列， $a_{1} + a_{3} = a_{4}$ . ${b_{n}}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 3$ ， $b_{3} - b_{2} = 18$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $H$ 为 $△ A B C$ 的内心，直线 $A H$ 与 $B C$ 交于 $M$ ， $∠ P A B = ∠ P A C$ ， $∠ P C A = ∠ P C B$ .

(1)、证明：平面 $P A M ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ B C$ ， $P A = A B = 3$ ， $B C = 4$ ，求二面角 $M - P A - C$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过 $A (0 ， 1)$ ， $T (- \frac{8}{5} ， - \frac{3}{5})$ 两点， $M$ ， $N$ 是椭圆 $E$ 上异于 $T$ 的两动点，且 $∠ M A T = ∠ N A T$ ，若直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率均存在，并分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .

(1)、求证： $k_{1} k_{2}$ 为常数；

(2)、求 $△ A M N$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2}$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $e x_{1} + (e - 2) x_{2} \geq λ x_{1} x_{2}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + \sqrt{3} t ， \\ y = t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $4 ρ^{2} s i n^{2} θ = 3 (ρ^{2} - 1)$ .

(1)、求 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ ，求 $| A B |$ .

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 3 | + | 2 x + 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 6 - x$ ；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为 $T$ ，正数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x + y + 2 z = T$ ，证明： $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{2}{z + 2} \geq \frac{8}{5}$ .

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

	一般	良好	合计
男	20	100	120
女	30	50	80
合计	50	150	200