吉林省延边州2023届高三数学统考二模试卷

试卷更新日期：2023-04-14 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | a x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ 的元素只有一个，则实数a的值为（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、0 C、 $\frac{9}{8}$ 或0 D、无解

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(i - 1) z = 2$ ，给出下列四个命题其中正确的是（）

A、 $| z | = 2$ B、 $z$ 的虚部为 $- 1$ C、 $\bar{z} = 1 + i$ D、 $z^{2} = - 2 i$

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1) ， \vec{b} = (3 ， 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(- \frac{3 \sqrt{10}}{10} ， - \frac{\sqrt{10}}{10})$ C、 $(1 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \frac{3}{5} ， - \frac{1}{5})$

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4. 某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”．在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书．某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{9}{16}$

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5. 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为 $M_{0}$ ，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为 $M = M_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{50}}$ ，若锶89的质量从 $M_{0}$ 衰减至 $\frac{1}{2} M_{0}$ ， $\frac{1}{3} M_{0}$ ， $\frac{1}{12} M_{0}$ 所经过的时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，则（）．

A、 $t_{3} = 2 t_{1} + t_{2}$ B、 $t_{3} = t_{1} + t_{2}$ C、 $t_{2} = 2 t_{1} + t_{3}$ D、 $t_{3} = 2 t_{1} - t_{2}$

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6. 经过 $P (2 ， 3)$ 向圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 作切线，切线方程为（）

A、 $5 x - 12 y + 26 = 0$ B、 $13 x - 12 y + 10 = 0$ C、 $5 x - 12 y + 26 = 0$ 或 $x = 2$ D、 $13 x - 12 y + 10 = 0$ 或 $x = 2$

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7. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长是4，侧棱长是6， $M$ ， $N$ 分别为 $C C_{1}$ ， $A B$ 的中点，若 $P$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上一点，且 $P N$ $∥$ 平面 $A B_{1} M$ ，则线段 $P N$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{39}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{26}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{39}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{26}}{2}$

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8. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 6) = f (x)$ ， $y = f (x + 3)$ 为偶函数，若 $f (x)$ 在 $(0 ， 3)$ 内单调递增.记 $a = f (2021)$ ， $b = f (e^{- 1})$ ， $c = f (l n 2)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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二、多选题

9. 下列化简正确的是（）

A、 $c o s 82 ° s i n 52 ° + s i n 82 ° c o s 128 ° = - \frac{1}{2}$ B、 $s i n 15 ° s i n 30 ° s i n 75 ° = \frac{1}{8}$ C、 $c o s^{2} 15 ° - s i n^{2} 15 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{t a n 48 ° + t a n 72 °}{1 - t a n 48 ° t a n 72 °} = \sqrt{3}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f^{'} (x) > 1$ ， $f (3) = 4$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 为增函数 B、 $g (x) = f (x) - x$ 为增函数 C、 $f (2 x - 1) > 4$ 的解集为 $(- \infty ， 2)$ D、 $f (2 x - 1) > 2 x$ 的解集为 $(2 ， + ∞)$

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径的圆交 $y$ 轴于 $M$ 、 $N$ 两点，设线段 $A B$ 的中点为 $P$ ，则（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - \frac{3 p^{2}}{4}$ B、若 $| A F | \cdot | B F | = 4 p^{2}$ ，则直线 $A B$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ C、若抛物线上存在一点 $E (2 ， t)$ 到焦点 $F$ 的距离等于 $3$ ，则抛物线的方程为 $y^{2} = 8 x$ D、若点 $F$ 到抛物线准线的距离为 $2$ ，则 $s i n ∠ P M N$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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12. 如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直， $A D = D E = 4$ ， G为线段AE上的动点，则（）

A、若G为线段AE的中点，则 $G B / /$ 平面CEF B、 $A E ⊥ C F$ C、 $B G^{2} + C G^{2}$ 的最小值为48 D、点B到平面CEF的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{7}$ 的展开式中，含 $\frac{1}{x}$ 的项的系数是．

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14. 设 $a > 0$ ， $b > 1$ ，若 $a + b = 2$ ，则 $\frac{9}{a} + \frac{1}{b - 1}$ 取最小值时a的值为．

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15. 若函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 3$ 处有极小值，则 $c$ 的值为．

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16. 已知坐标平面xOy中，点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上， $M F_{2}$ 与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为 $M F_{2}$ 的中点，点I为 $△ O M F_{2}$ 的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c = 2 b c o s B$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求B；

(2)、在下面两个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
① $△ A B C$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ；②面积为 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中，公差 $d > 0$ ， $S_{11} = 77$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{6} - 1$ ， $a_{11}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{n}$ 为数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和，且存在 $n \in N *$ ，使得 $T_{n} - λ a_{n + 1} \geq 0$ 成立，
求实数 $λ$ 的取值范围．

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19. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点， $O$ 为 $D E$ 的中点， $A B = A C = 2 \sqrt{5}$ ， $B C = 4$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，如图2.

(1)、求证： $A_{1} O ⊥ B D$ .

(2)、求直线 $A_{1} C$ 和平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值.

(3)、线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $D F$ 和 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ ？若存在，求出 $\frac{A_{1} F}{A_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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20. 我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额x（单位：百万元）对年收入的附加额y（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额 $x_{i}$ 和年收入的附加额 $y_{i}$ 进行研究，得到相关数据如下：
投入额 $x_{i}$
2
3
4
5
6
8
9
11
年收入的附加额 $y_{i}$
3.6
4.1
4.8
5.4
6.2
7.5
7.9
9.1
【参考数据】 $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 334.1$ ， $\sum_{i = 1}^{8} y_{i} = 48.6$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 356$ ．
【附】在经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、求年收入的附加额y与投入额x的经验回归方程；

(2)、若年收入的附加额与投入额的比值大于1，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从上面8个投入额中任意取3个，用X表示这3个投入额为“优秀投资额”的个数，求X的分布列及数学期望．

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21. 知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，过 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为 $F_{2} .$

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、如图，下顶点为A，过点 $B (0 ， 2)$ 作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H， $G .$ 求证： $△ A B G$ 与 $△ A O H$ 的面积之积为定值，并求出该定值.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = \frac{a}{x}$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $F (x) = \frac{1}{g (s i n (x - 1))} - f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减，求a的取值范围．

(2)、证明： $\sum_{k = 1}^{n} s i n \frac{1}{k + 1} < l n (n + 1)$ ， n， $k \in N^{*}$

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投入额 $x_{i}$	2	3	4	5	6	8	9	11
年收入的附加额 $y_{i}$	3.6	4.1	4.8	5.4	6.2	7.5	7.9	9.1