北师大版2022-2023学年度第二学期七年级数学平方差公式期中复习

试卷更新日期：2023-04-14 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 若 $x + y = 3$ ， $x - y = 1$ ，则 $x^{2} - y^{2}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、-3

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2. 下列多项式乘法，能用平方差公式计算的是（）

A、 $(- 3 x - 2) (3 x + 2)$ B、 $(- a - b) (- b + a)$ C、 $(- 3 x + 2) (2 - 3 x)$ D、 $(3 x + 2) (2 x - 3)$

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3. 如下图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证（）

A、a²+b²-2ab=(a-b)² B、a²+b²+2ab=(a+b)² C、2a²-3ab+b²=(2a-b)(a-b) D、a²-b²=(a+b) (a-b)

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4. 某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的 $a^{4} - \oplus = (a^{2} - b) (a^{2} + b)$ 一部分弄污了，那么你认为式子中的 $\oplus$ 所对应的代数式是（）

A、 $b$ B、 $b^{2}$ C、 $2 b$ D、 $b^{4}$

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5. 下列各式不能用平方差公式进行因式分解的是（）

A、 $a^{2} - 16 b^{2}$ B、 $- 1 + 4 m^{2}$ C、 $- 36 x^{2} + y^{2}$ D、 $- m^{2} - 1$

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6. 已知5⁴－1能被20~30之间的两个整数整除，则这两个整数是（）

A、25，27 B、26，28 C、24，26 D、22，24

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7. 在边长为 $a$ 的正方形中（如图1）剪去一个边长为 $b$ 的小正方形 $(a > b)$ ，把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（）

A、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ B、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $a (a - b) = a^{2} + a b$

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8. 将边长分别为 $a + b$ 和a-b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果（）

A、 $a - b$ B、 $a + b$ C、2ab D、4ab

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9. 若 $(x + 3) (x - 3) = 55$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $8$ B、 $- 8$ C、 $\pm 8$ D、 $6$ 或 $8$

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10. 若 $(3 b + a)$ （） $= 9 b^{2} - a^{2}$ ，则括号内应填的代数式是（）

A、 $- a - 3 b$ B、 $a + 3 b$ C、 $- 3 b + a$ D、 $3 b - a$

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二、填空题

11. 若 $a^{2} - b^{2} = 16$ ， $a - b = 8$ ，则 $a + b =$ ．

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12. 已知m＋n＝3，m－n＝2，则 $m^{2} - n^{2} =$ ．

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13. 观察：（x﹣1）（x+1）＝x²﹣1，（x﹣1）（x²+x+1）＝x³﹣1，（x﹣1）（x³+x²+x+1）＝x⁴﹣1据此规律，当（x﹣1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）＝0时，代数式x²⁰²¹﹣1＝．

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14. 已知 $x - 2 y = 1$ ，则 $x^{2} - 4 y - 4 y^{2} =$ .

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15. 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是。(请填上正确的序号)

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三、解答题

16. 已知a-b=30，b-c=25，且a²-c²=1650，求a+c的值.

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17. 老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：

① $3^{2} - 1^{2} = 8 \times 1$ ；

② $5^{2} - 3^{2} = 8 \times 2$ ；

③ $7^{2} - 5^{2} = 8 \times 3$ ；

……

试写出符合上述规律的第五个算式；

验证：设两个连续奇数为2n+1， $2 n - 1$ (其中 $n$ 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；

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18. 原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积.

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四、综合题

19. “平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：

(1)、问题一： $(x + y - z) (x - y + z) = (A + B) (A - B)$ ，
则 $A =$ ， $B =$ ；

(2)、计算： $(2 a - b + 3) (2 a - 3 + b)$ ；

(3)、问题二：已知 $x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - P = {(x - y)}^{2} + Q$ ，
则 $P =$ ， $Q =$ ；

(4)、已知长和宽分别为 $a$ ， $b$ 的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求 $a^{2} + b^{2} + a b$ 的值．

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20. 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．

(1)、通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是：．

(2)、小明在计算（2+1）（2²+1）（2⁴+1）时利用了（1）中的公式：
（2+1）（2²﹣1）（2⁴+1）
＝1•（2+1）（2²+1）（2⁴+1）
＝．
（请你将以上过程补充完整．）

(3)、利用以上的结论和方法、计算： $\frac{1}{2}$ +（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）．

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21. 乘法公式的探究及应用．

(1)、如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是（写成多项式乘法的形式）

(2)、比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）．

(3)、运用你所得到的公式，计算下列各题：
① $10.3 \times 9.7$
② $(2 m + n - p) (2 m - n + p)$

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22. 如图1，边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小长方形，小亮将阴影部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)、上述操作能验证的等式是；

(2)、应用（1）中的等式，完成下列各题：
①已知 $4 x^{2} - y^{2} = 16$ ， $2 x + y = 8$ ，求 $2 x - y$ 的值．
②计算： $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{2^{4}}) (1 + \frac{1}{2^{8}}) (1 + \frac{1}{2^{16}}) (1 + \frac{1}{2^{32}})$ ．

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23.

(1)、计算下列各式，并寻找规律：
① $1 - \frac{1}{2^{2}}$ =（+）（-）=；

② $1 - \frac{1}{3^{2}}$ =（+）（-）=；

(2)、运用（1）中所发现的规，计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) (1 - \frac{1}{5^{2}})$ ；

(3)、猜想 $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{9^{2}}) (1 - \frac{1}{10^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{n^{2}})$ 的结果，并写出过程.

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北师大版2022-2023学年度第二学期七年级数学平方差公式 期中复习

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二、填空题

三、解答题

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