北师大版2022-2023学年度第二学期七年级数学幂的乘方与积的乘方期中复习

试卷更新日期：2023-04-14 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 已知 $a = 81^{7}$ ， $b = 27^{9}$ ， $c = 9^{13}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $a < b < c$ D、 $b > c > a$

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2. 计算 ${(- \frac{1}{3})}^{2021} \times 3^{2020}$ 的结果是（）．

A、 $- 3$ B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 若 $2^{m} = a$ ， $3^{m} = b$ ，则 $6^{m}$ 等于（）

A、 $a + b$ B、 $a - b$ C、 $a b$ D、 $a^{b}$

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4. 下列选项中正确的有（）个．
① $a^{2 m} = {(a^{2})}^{m}$ ；② $a^{2 m} = {(a^{m})}^{2}$ ；③ $a^{2 m} = {(- a^{m})}^{2}$ ；④ $a^{2 m} = {(- a^{2})}^{m}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知 $1 0^{x} = m$ ， $5^{x} = n$ ，则 $2^{x}$ 的值为（）

A、 $m n$ B、 $\frac{m}{n}$ C、 $\frac{n}{m}$ D、 $m + n$

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6. 若 $x = 2^{m} + 1$ ， $y = 4^{m} - 3$ ，则下列 $x$ ， $y$ 关系式成立的是（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2} - 4$ B、 $y = x^{2} - 4$ C、 $y = 2 (x - 1) - 3$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$

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7. 若 $3 \cdot 9^{m} \cdot 2 7^{m} = 9^{13}$ ，则m的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 已知a $= \frac{9 9^{7}}{9^{77}}$ ， b $= \frac{1 1^{9}}{9^{70}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、a＜b B、a＝b C、a＞b D、ab＝1

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9. 已知 $3^{m} = x$ ， $3^{2 n} = y$ ， $m$ ， $n$ 为正整数，则 $3^{m + 4 n} =$ （）

A、 $x y^{2}$ B、 $x + y^{2}$ C、 $x + y$ D、 $x y$

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10. 已知 $2^{x + 3} \times 3^{x + 3} = 3 6^{x + 1}$ ，那么 $202 2^{- x}$ 的值是（）

A、2022 B、1 C、 $- \frac{1}{2022}$ D、 $\frac{1}{2022}$

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二、填空题

11. 求值： $202 2^{2022} \times (\frac{1}{2022})^{2021} =$ ．

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12. 比较大小：2⁷⁵ 3⁵⁰（填“>”、“<”或“=”）

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13. 若 $x^{m} = 3$ ， $x^{n} = 2$ ，则 $x^{2 m + n}$ ＝．

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14. 如果 $a + 3 b - 2 = 0$ ，那么 $3^{a} \times 2 7^{b}$ 的值为.

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15. 若 $2^{x} ＝ 3$ ， $4^{y} ＝ 2$ ，则 $2^{x ﹣ 4 y}$ 的值为.

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三、解答题

16. 已知a^m＝2，aⁿ＝3，求a^2m+3n的值．

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17. 已知 $a^{6} = 2^{b} = 8^{4}$ ，且 $a < 0$ ，求 $| a - b |$ 的值.

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18. 已知 $P = \frac{88^{8}}{8^{88}}$ ， $Q = \frac{11^{8}}{8^{80}}$ ，试说明P=Q．

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四、综合题

19. 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题.例如：“若 $a^{m} = 4$ ， $a^{m + n} = 20$ ，求 $a^{n}$ 的值.”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ ，所以 $20 = 4 \times 5 = a^{m} \cdot a^{n}$ ，所以 $a^{n} = 5$ .

(1)、若 $a^{m} = 2$ ， $a^{2 m + n} = 24$ ，请你也利用逆向思考的方法求出 $a^{n}$ 的值.

(2)、下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：

①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式： ▲ .

②计算： $5^{2022} \times {(- 0.2)}^{2022}$ .

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20. 阅读材料，解决问题.
材料一：比较 $3^{22}$ 和 $4^{11}$ 的大小.
解：因为 $4^{11} = {(2^{2})}^{11} = 2^{22}$ ，而 $3 > 2$ ，所以 $3^{22} > 2^{22}$ ，即 $3^{22} > 4^{11}$ .
小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小.
材料二：比较 $2^{8}$ 和 $8^{2}$ 的大小.
解：因为 $8^{2} = {(2^{3})}^{2} = 2^{6}$ ，而 $8 > 6$ ，所以 $2^{8} > 2^{6}$ ，即 $2^{8} > 8^{2}$ .
小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小.

(1)、比较 $3^{44}$ ， $4^{33}$ ， $5^{22}$ 的大小：

(2)、比较 $8 1^{31}$ ， $2 7^{41}$ ， $9^{61}$ 的大小.

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21. 对于积的乘方运算，我们有： ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ ．逆用这个等式，我们可以很方便的完成一些特定计算．比如： $8^{2011} \times {0.125}^{2011} = {(8 \times 0.125)}^{2011} = 1^{2011} = 1$ ．请仿照上述过程完成以下计算：

(1)、 ${(- 4)}^{4} \times {0.25}^{4}$

(2)、 ${(- \frac{2}{3})}^{2019} \times {(\frac{3}{2})}^{2020}$

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22. 若 $a^{m} = a^{n}$ (a > 0，且 a≠1，m、n 是整数），则 m = n.你能利用上面的结论解决下面的问题吗？

(1)、如果2×8^x ×16^x =2²⁹ ，求x的值；

(2)、如果 ${(27^{x})}^{- 2} \times 9^{2} = 3^{- 8}$ ，求x的值.

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23. 阅读下列材料，并解决下面的问题：
我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子 $2^{3} = 8$ 可以变形为 $\log_{2} 8 = 3 ， \log_{5} 25 = 2$ 也可以变形为 $5^{2} = 25$ .在式子 $2^{3} = 8$ 中，3叫做以2为底8的对数，记为 $\log_{2} 8.$ 一般地，若 $a^{n} = b (a > 0 且 a \neq 1 ， b > 0) ，$ 则 $n$ 叫做以 $a$ 为底 $b$ 的对数，记为 ${log}_{a} b (即 \log_{a} b = n) ，$ 且具有性质：

$① \log_{a} b^{n} = n \log_{a} b ； ② \log_{a} a^{n} = n ； ③ \log_{a} M + {log}_{a} N = {log}_{a} (M \cdot N) ，$

其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1 ， M > 0 ， N > 0.$

根据上面的规定，请解决下面问题：

(1)、计算：log₃1= ， log₁₀25+log₁₀4=(请直接写出结果）；

(2)、已知 $x = \log_{3} 2 ，$ 请你用含 $x$ 的代数式来表示 $y ，$ 其中 $y = \log_{3} 72$ (请写出必要的过程).

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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