沪科版数学八年级下册第18章勾股定理基础过关卷

试卷更新日期：2023-04-14 类型：单元试卷

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一、单选题（每题4分，共40分）

1. 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（）

A、 $a = 2$ ， $b = 4$ ， $c = 5$ B、 $a = \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{4}$ ， $c = \sqrt{5}$ C、 $a = 3$ ， $b = 4$ ， $c = 5$ D、 $a = 5$ ， $b = 13$ ， $c = 14$

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2. 已知 $△ A B C$ 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（）

A、 $a^{2} = b^{2} - c^{2}$ B、 $a = 6$ ， $b = 8$ ， $c = 10$ C、 $∠ A = ∠ B + ∠ C$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 5 ： 12 ： 13$

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3. 如图，数轴上的点A对应的实数是-1，点B对应的实数是1，过点B作 $B C ⊥ A B$ ，使 $B C = 1$ ，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{5} + 1$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. 如图，在 $3 \times 3$ 的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{9}$ D、 $\sqrt{10}$

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5. 如图，分别以 $R t △ A B C$ 三边向外作三个正方形，其面积分别用 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 表示，若 $S_{3} = 2$ ， $S_{2} = 7$ ，那么 $S_{1} =$ （）

A、9 B、5 C、14 D、3.5

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6. 如图，在长方形 $A B C D$ 中，点E是 $C D$ 上一点，连接 $A E$ ，沿直线 $A E$ 把 $△ A D E$ 折叠，使点D恰好落在边 $B C$ 上的点F处.若 $A B = 9$ ， $C E = 4$ ，则折痕 $A E$ 的长度为（）

A、 $5 \sqrt{10}$ B、 $10 \sqrt{3}$ C、 $10 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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7. 在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（）

A、3cm B、 $\sqrt{5}$ cm C、2cm或 $\sqrt{5}$ cm D、 $\sqrt{3}$ cm或 $\sqrt{5}$ cm

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8. 勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为 $x$ 尺，根据题意，可列方程为（　　）

A、 $x^{2} + 4^{2} = 1 0^{2}$ B、 ${(10 - x)}^{2} + 4^{2} = 1 0^{2}$ C、 ${(10 - x)}^{2} + 4^{2} = x^{2}$ D、 $x^{2} + 4^{2} = {(10 - x)}^{2}$

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10. 数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{(12 - x)^{2} + 9}$ 的最小值”，其中 $\sqrt{x^{2} + 4}$ 可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长， $\sqrt{(12 - x)^{2} + 9}$ 可看作两直角边分别是12-x和3的Rt△BDP的斜边长.于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小.请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{(4 - x)^{2} + 4}$ 的最小值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题（每空5分，共25分）

11. 若直角三角形的两条直角边的长分别为5和 12，则斜边上的中线长为．

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12. 如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时， $A D = 1$ 米，则BE＝米.

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13. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：“有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的 $C^{'}$ 处，水深和芦苇长各是多少尺？”则该问题的水深是．

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14. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $A B = 10$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，若 $P$ 、 $Q$ 分别是 $A D$ 和 $A C$ 上的动点，则 $P C + P Q$ 的最小值是

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三、作图题（共10分）

16. 如图，在由 $4 \times 4$ 的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫格点．

(1)、在图1中，以A为顶点，作一个三边长分别为2， $\sqrt{5}$ 和 $\sqrt{13}$ 的格点三角形．

(2)、在图2中，以A为顶点，作一个面积为 $\frac{5}{2}$ 的等腰直角三角形．

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四、解答题（共7题，共75分）

17. 随着3月12日植树节的到来，某企业计划对一块四边形空地进行绿化．如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 8$ 米， $A D = 6$ 米， $C D = 26$ 米， $B C = 24$ 米，若每平方米绿化的费用为60元，请预计绿化的费用．

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18. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 10 ， A D = 6$ ， E为 $B C$ 上一点，把 $△ C D E$ 沿 $D E$ 折叠，使点C落在 $A B$ 边上的F处．

(1)、求 $A F$ 的长；

(2)、求 $C E$ 的长．

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19. 如图，已知 $C D = 4$ ， $A D = 3$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $B C = 12$ ， $A B = 13$ ．

(1)、求AC的长．

(2)、求图中阴影部分图形的面积．

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20. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.

(1)、求∠ACB的度数；

(2)、海港C受台风影响吗？为什么？

(3)、若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？

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21. 如图，P是等边 $△ A B C$ 内的一点，连接 $P A ， P B ， P C$ ，以 $B P$ 为边作 $∠ P B Q = 60 °$ ，且 $B Q = B P$ ，连接 $C Q$ .若 $P A ： P B ： P C = 3 ： 4 ： 5$ ，连接 $P Q$ .

(1)、证明： $△ A B P ≌ △ C B Q$ ；

(2)、求 $∠ B Q C$ 的度数.

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22. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ $\sqrt{2}$ c，这时我们把关于x的形如 $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：

(1)、判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
① $2 x^{2} + \sqrt{5} x + 1 = 0$ （填“是”或“不是”）；
② $3 x^{2} + 5 \sqrt{2} x + 4 = 0$ （填“是”或“不是”）

(2)、求证：关于x的“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 必有实数根；

(3)、若 $x = - 1$ 是“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积.

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23. 如图， $△ A B C$ 是边长为 $4 cm$ 的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是 $1 cm / s$ ，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，P，Q两点停止运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t s$ ，解答下列问题：

(1)、求 $△ A B C$ 的面积.

(2)、当 $t$ 为何值时， $△ P B Q$ 是直角三角形？

(3)、是否存在某一时刻 $t$ ，使四边形APQC的面积是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{5}{8}$ ？如果存在，求出 $t$ 的值；如果不存在，请说明理由.

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沪科版数学八年级下册 第18章 勾股定理 基础过关卷

一、单选题（每题4分，共40分）

二、填空题（每空5分，共25分）

三、作图题（共10分）

四、解答题（共7题，共75分）

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