高三数学二轮专题复习--集合简单逻辑和不等式

试卷更新日期：2023-04-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知R为实数集，集合 $A = {x | \frac{2}{x - 1} < 1}$ ， $B = {x | \frac{1}{2} < 2^{x} < 4}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${x | - 1 < x \leq 3}$ B、 ${x | 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

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2. 若集合 $M = {x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ， $N = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ，则 $M ∪ N =$ （）

A、 $[- 1 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 4]$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $[- 2 ， 4]$

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3. 已知a是实数，则“ $a < - 1$ ”是“ $a + \frac{1}{a} < - 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都是非零向量，下列四个条件中，使 $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} = \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ 成立的充分条件是（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ 且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、 $\vec{a} = - \vec{b}$ C、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D、 $\vec{a} = 2 \vec{b}$

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5. 已知正实数 $x ， y$ 满足 $2 x + y = 3$ ，则 $\frac{1}{5 x + y} + \frac{1}{x + 2 y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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6. 若正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x + y = 1$ ，且不等式 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y} < m^{2} + \frac{3}{2} m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）．

A、 $m < - 3$ 或 $m > \frac{3}{2}$ B、 $m < - \frac{3}{2}$ 或 $m > 3$ C、 $- \frac{3}{2} < m < 3$ D、 $- 3 < m < \frac{3}{2}$

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7. 已知 $i$ 为虚数单位，则 $\frac{3 - 7 i}{2 + 3 i}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{23}{13}$ B、 $- \frac{15}{13}$ C、 $\frac{15}{13}$ D、 $\frac{23}{13}$

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二、多选题

8. 下列结论中正确的是（）

A、若一元二次不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集是 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$ ，则 $a + b$ 的值是 $- 14$ B、若集合 $A = {x \in N^{*} ∣ l g x \leq \frac{1}{2}}$ ， $B = {x ∣ 4^{x - 1} > 2}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数为4 C、函数 $f (x) = x + \frac{2}{x + 1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$ D、函数 $f (x) = 2^{x} - 1$ 与函数 $f (x) = \sqrt{4^{x} - 2^{x + 1} + 1}$ 是同一函数

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9. 已知实数a，b>0，2a+b=4，则下列说法中正确的有（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最小值 $\frac{3}{2}$ B、a²+b²有最小值 $\frac{16}{5}$ C、4a+2b有最小值8 D、lna+lnb有最小值ln2

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10. 下列说法正确的是（）

A、若 $x < \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{1}{2 x - 1}$ 的最小值为 $- 1$ B、若实数a，b满足 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0$ ，且 $a + b + c = 2$ ，则 $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b + c}$ 的最小值是3 C、若实数a，b满足 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $2 a + b + a b = 6$ ，则 $2 a + b$ 的最大值是4 D、若实数a，b满足 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{b^{2}}{b + 1}$ 的最小值是1

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11. 下列关于非零复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 的结论正确的是（）

A、若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数，则 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ B、若 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ ，则 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数 C、若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数，则 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = 1$ D、若 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = 1$ ，则 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数

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三、填空题

12. 命题“ $\exists x \in R$ ， $a x^{2} + x + 1 < 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围为.

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13. 若实数x、y满足 $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则 $x + y$ 的最大值是．

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14. 正实数 $a ， b$ 满足 $4 a + b = 4 a b$ ，则 $a + 4 b$ 的最小值为.

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15. 复数 $z = 2 i + i^{2} + i^{3}$ （ $i$ 为虚数单位），则|z|的值为．

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