广西柳州市2023届高三理数第三次模拟试卷

试卷更新日期：2023-04-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x - 1 \geq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 ${- 1} \cup [1 ， + \infty)$

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2. 在复平面内，复数 $\frac{- 1 + i}{i}$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．
下列结论中错误的是（）

A、从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加 B、2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 C、1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 D、2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平

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4. 某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} \approx 5.879$ ，临界值表如下：
$α$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$x_{α}$
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
则下列说法中正确的是：（）

A、有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关” B、有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关” C、在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关” D、在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”

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5. 2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（）

A、23 B、25 C、27 D、29

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6. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) s i n x$ 的部分图像大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知 $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ，设 $N = 4^{5} \times 9^{10}$ ，则N所在的区间为（）

A、 $(1 0^{11} ， 1 0^{12})$ B、 $(1 0^{12} ， 1 0^{13})$ C、 $(1 0^{13} ， 1 0^{14})$ D、 $(1 0^{14} ， 1 0^{15})$

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8. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 3 c o s 2 α$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{5}{6}$

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9. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需总时长为1小时，当上方圆锥中沙子漏至圆锥高度的 $\frac{1}{3}$ 时，所需时间为（）

A、 $\frac{1}{3}$ 小时 B、 $\frac{7}{8}$ 小时 C、 $\frac{26}{27}$ 小时 D、 $\frac{8}{9}$ 小时

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10. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是直角边长分别为2和4的两个全等的直角三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）

A、 $4 \sqrt{6} π$ B、 $8 \sqrt{6} π$ C、 $12 π$ D、 $24 π$

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11. 过双曲线M： $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且 $\vec{B A} + \vec{B C} = \vec{0}$ ，则双曲线M的离心率是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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12. 已知 $f (x) = x + e^{- x}$ ， $g (x) = x^{a} - a l n x$ （ $a < 0$ ），若 $f (x) ≥ g (x)$ 在 $x \in (1 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数a的最小值为（）

A、 $- 2 e$ B、 $- e$ C、 $- \sqrt{e}$ D、 $- \frac{e}{2}$

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二、填空题

13. 向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， - 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 1 ， 0)$ ，若 $(\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}) ⊥ (λ \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ ，则 $λ =$ .

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14. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y^{2} = - 8 x$ 的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作 $P A ⊥ l$ ，交准线l于点A.若 $| P F | = | A F |$ ，则 $O P$ 的长为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 2} - a_{n} = (- 1)^{n} + 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前30项和为 .

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16. 已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， P是圆O： $x^{2} + y^{2} = 49$ 上的一个动点，则 $s i n ∠ A P B$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（Made in china）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制.某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为 $[50 ， 100]$ ，经过数据处理后得到如下频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数（结果精确到0.1）；

(2)、为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在 $[50 ， 60)$ 和 $[90 ， 100]$ 的两组中抽取2件产品，记取自 $[50 ， 60)$ 的产品件数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = A D = 4$ ， $B C = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求 $A D$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值.

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19. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，且 $\frac{c o s B}{c o s C} = \frac{b}{2 a - c}$ .

(1)、求B

(2)、若 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ，求 $B M$ 的最小值，并判断此时 $△ A B C$ 的形状.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x - a x ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $g (x) = f (x) - l n (x + 1)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值；

(2)、证明： $s i n \frac{1}{2} + s i n \frac{1}{3} + s i n \frac{1}{4} + ⋯ + s i n \frac{1}{n} > l n \frac{n + 1}{2} (n > 1$ 且 $n \in N^{*}$ ）.

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21. 椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $E (1 ， 1)$ 且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；直线 $l$ 与椭圆 $C_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且以 $A B$ 为直径的圆过原点.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若过原点的直线 $m$ 与椭圆 $C_{1}$ 交于 $C ， D$ 两点，且 $\vec{O C} = t (\vec{O A} + \vec{O B})$ ，求四边形 $A C B D$ 面积的最大值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + \sqrt{2} c o s θ \\ y = 1 + \sqrt{2} s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设射线 $l_{1} ： θ = π (ρ \geq 0)$ 和射线 $l_{2} ： θ = \frac{π}{2} + α (ρ \geq 0 ， 0 \leq α < \frac{π}{2})$ 分别与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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23. 已知 $△ A B C$ 对应的三边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .

(1)、若 $x$ ， $y$ ， $z$ 是正实数，求证： $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{x + y + z}$ ，当 $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ 时，等号成立；

(2)、求证： $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} \geq \frac{3}{2}$ .

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$α$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$x_{α}$	2.072	2.076	3.841	5.024	6.635