吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三下学期数学第三次调研测试试卷

试卷更新日期：2023-04-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {y | y = 2^{x} ， x \in R}$ ，则下图阴影部分所对应的集合为（）

A、 ${x | x < - 1}$ B、 ${x | x \leq - 1}$ C、 ${x | x \leq 0$ 或 $x > 3}$ D、 ${x | 0 < x \leq 3}$

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2. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y = 0$ ，直线l： $x - y + 1 = 0$ ，则圆心C到直线l的距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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3. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（）

A、22 B、24 C、25 D、26

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4. 已知直线 $a ， b$ 与平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，能使 $α ⊥ β$ 的充分条件是（）

A、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ B、 $a ⊥ α$ ， $a ⊥ β$ C、 $a ⊥ β$ ， $a \subset α$ D、 $α ∩ β = b$ ， $a \subset α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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5. “甲流”是甲型流感的简称，是由甲型流感病毒感染引起的急性呼吸道传染病，可呈季节性流行，北半球多在冬春季节发生．近期，我国多地纷纷进入“甲流”高发期，某地 $A ， B$ 两所医院因发热就诊的患者中分别有 $25 % ， 19 %$ 被确诊为“甲流”感染，且到A医院就诊的发热患者人数是到B医院的三倍．现从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，则此人未感染“甲流”的概率是（）

A、0.78 B、0.765 C、0.59 D、0.235

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6. 已知 $\frac{1}{b} < \frac{1}{a} < 0$ ，则下列不等式不一定成立的是（）

A、 $a < b$ B、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ C、 $a - \frac{1}{a} < b - \frac{1}{b}$ D、 $l n (b - a) > 0$

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7. 如图，菱形纸片 $A B C D$ 中， $∠ A = \frac{π}{3}$ ， O为菱形 $A B C D$ 的中心，将纸片沿对角线 $B D$ 折起，使得二面角 $A - B D - C$ 为 $\frac{π}{3}$ ， $E ， F$ 分别为 $A B ， C D$ 的中点，则折纸后 $c o s ∠ E O F =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{5}{8}$ D、0

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8. 已知不等式 $2 λ e^{2 x} + l n λ \geq l n x$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2 e}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{4 e}]$ C、 $[\frac{1}{2 e} ， + ∞)$ D、 $[\frac{1}{4 e} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（）

A、若4人中男生女生各选2人，则有18种选法 B、若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法 C、若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法 D、若4人中既有男生又有女生，则有34种选法

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10. 已知复数 $z_{1} = m^{2} - 1 + (m + 1) i$ ， $z_{2} = c o s 2 θ + i s i n θ$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1}$ 纯虚数，则 $m = 1$ B、若 $z_{2}$ 为实数，则 $θ = k π$ ， $k ∈ Z$ C、若 $z_{1} = z_{2}$ ，则 $m = 0$ 或 $m = - \frac{4}{3}$ D、若 $z_{1} \geq 0$ ，则m的取值范围是 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$

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11. 祖暅是我国南北朝时期数学家，天文学家，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异．”这就是祖暅原理，比西方发现早一千一百多年．即：夹在两个平行平面之间的两几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，曲线C： $y = x^{2}$ ，过点 $(1 ， 0)$ 作曲线C的切线l（l的斜率不为0），将曲线C、直线l、直线y=1及x轴所围成的阴影部分绕y轴旋转一周所得的几何体记为 $Ω$ ，过点 $(0 ， t) (0 \leq t \leq 1)$ 作 $Ω$ 的水平截面，所得截面面积为S，利用祖暅原理，可得出 $Ω$ 的体积为V，则（）

A、 $S = {(1 + \frac{t}{4})}^{2} π (0 \leq t \leq 1)$ B、 $S = {(1 - \frac{t}{4})}^{2} π (0 \leq t \leq 1)$ C、 $V = \frac{15 π}{16}$ D、 $V = \frac{37 π}{48}$

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12. 设定义在R上的可导函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，若 $f (x) = g (2 x - 1) + 2 x$ ， $f (x + 1)$ 与 $g (x)$ 均为偶函数，则（）

A、 $g^{'} (1) = 1$ B、 $g^{'} (2023) = - 2023$ C、 $f^{'} (2) = - 4$ D、 $\sum_{i = 1}^{99} f^{'} (\frac{i}{100}) = 198$

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三、填空题

13. ${(2 + x)}^{5} {(x - y)}^{3}$ 的展开式中， $x^{4} y^{2}$ 的系数是．

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14. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ．若向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} - \vec{a} - 2 \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值是．

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15. 规定： $M a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b ， \\ b ， a < b . \end{array}$ 设函数 $f (x) = M a x {s i n ω x ， c o s ω x} (ω > 0)$ ，若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增，则实数 $ω$ 的取值范围是．

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过焦点 $F_{2}$ 的直线l与椭圆C相交于 $A ， B$ 两点，椭圆C在 $A ， B$ 两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为，若 $△ F_{1} F_{2} P$ 的垂心为点H，则 $| P H |$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = {\begin{array}{l} 2^{n - 2} ， n 为奇数 \\ 3 n - 2 ， n 为偶数 \end{array}$ ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，并判断1024是数列中的第几项；

(2)、求 $S_{2 n - 1}$ ．

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18. 如图，圆O为 $△ A B C$ 的外接圆，且O在 $△ A B C$ 内部， $O A = 1$ ， $∠ B O C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、当 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ 时，求AC；

(2)、求图中阴影部分面积的最小值．

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19. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B F E$ 和四边形 $C D E F$ 均是等腰梯形，底面 $A B C D$ 为矩形， $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $O$ ， $E F / /$ 平面 $A B C D$ ，且 $E F$ 与底面 $A B C D$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ， $A E = E D ， A B = 2 E F = 4 ， A D = 2 \sqrt{2} .$

(1)、求证： $F O ∥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、在线段 $B F$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $C M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{14}}{21}$ ．若存在，请确定点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由．

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20. 2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：

球队输球
球队赢球
总计
甲参加
2
30
32
甲未参加
8
10
18
总计
10
40
50
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
参考数据：
a
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{a}$
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；

(2)、从该球队中任选一人，A表示事件“选中的球员参赛”，B表示事件“球队输球”． $\frac{P (B | A)}{P (\bar{B} | A)}$ 与 $\frac{P (B | \bar{A})}{P (\bar{B} | \bar{A})}$ 的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R．
①证明： $R = \frac{P (A | B)}{P (\bar{A} | B)} \cdot \frac{P (\bar{A} | \bar{B})}{P (A | \bar{B})}$ ；
②利用球员甲数据统计，给出 $P (A | B)$ ， $P (A | \bar{B})$ 的估计值，并求出R的估计值．

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21. 已知点 $F (0 ， 1)$ ，动点M在直线 $l ： y = － 1$ 上，过点M且垂直于x轴的直线与线段 $M F$ 的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知圆 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 的一条直径为 $A B$ ，延长 $A O ， B O$ 分别交曲线C于 $S ， T$ 两点，求四边形 $A B S T$ 面积的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ （e是自然对数的底数）， $g (x) = s i n x$ ．

(1)、若函数 $m (x) = f (x) g (x)$ ，求函数 $m (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的最大值．

(2)、若函数 $y = | g (x) |$ 的图象与直线 $y = k x (k > 0)$ 有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为 $α$ ，求证： $\frac{s i n α}{c o s α + c o s 3 α} = \frac{α (α^{2} + 1)}{2 (1 - α^{2})}$ ．

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	球队输球	球队赢球	总计
甲参加	2	30	32
甲未参加	8	10	18
总计	10	40	50

a	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	3.841	6.635	7.879	10.828