广西2023届高三理数模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-04-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 4 x < 1}$ ， $B = {x | - 3 < 6 x < 8}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x < \frac{1}{4}}$ B、 ${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{4}}$ C、 ${x | x < \frac{4}{3}}$ D、 ${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{3}{4}}$

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2. 若复数z的虚部小于0，且 $z^{2} = - 1$ ，则 $\frac{z}{z + 1} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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3. 若函数 $f (x) = a s i n x + 1$ 的最大值为4，则函数 $g (x) = c o s (a x + 1)$ 的最小正周期为（）

A、 $2 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. 若双曲线C： $\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{2 a} = 1 (a > 0)$ 的焦距大于6，C上一点到两焦点的距离之差的绝对值为d，则d的取值范围是（）

A、 $(2 \sqrt{3} ， + \infty)$ B、 $(\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $(6 ， + \infty)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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5. 某舞台灯光设备有一种25头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头LED灯出现故障都是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{7}{60}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{15}$

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6. 若 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $h (x)$ 分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（）

A、 $y = f (g (x)) h (x)$ B、 $y = f (g (x)) + h (x)$ C、 $y = f (h (x)) g (x)$ D、 $y = f (x) | g (x) | h (x)$

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7. 如图，△ABC与△BCD都是正三角形， $A B = 2$ ，将△ABC沿BC边折起，使得A到达 $A_{1}$ 的位置，连接 $A_{1} D$ ，得到三棱锥 $A_{1} - B C D$ ，则“ $\sqrt{6} < A_{1} D < 2 \sqrt{3}$ ”是“二面角 $A_{1} - B C - D$ 为钝角”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知A，B，C是同一条直线上三个不同的点，O为直线外一点．在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{4} > 2$ ， $\vec{O A} = a_{2} \vec{O B} + a_{3} \vec{O C}$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比q的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1 + \sqrt{3})$ B、 $(1 + \sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1 + \sqrt{2})$ D、 $(1 + \sqrt{2} ， + \infty)$

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9. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} y - 3 \geq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ 2 x + y - 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 2]$ D、 $[- 2 ， + \infty)$

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10. 设钝角 $α$ 满足 $\frac{c o s 2 α - s i n α}{1 - 2 s i n α} = \frac{8}{5}$ ，则 $t a n (α + \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、7 D、-7

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11. 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAD⊥底面ABCD， $A B = C D = \sqrt{2}$ ， $B C = 2$ ， $A D = 4$ ， $P A = P D = 2 \sqrt{5}$ ，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为（）

A、26π B、27π C、28π D、29π

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12. 若函数 $f (x) = x^{2} e^{x} - l n x$ 的最小值为m，则函数 $g (x) = x^{2} e^{e x + 2} - l n x$ 的最小值为（）

A、 $m - 1$ B、 $e m + 1$ C、 $m + 1$ D、 $e m - 1$

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二、填空题

13. 若随机变量X的分布列为则X的数学期望为．
X
－1
2
4
5
P
0.2
0.35
0.25
0.2

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14. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为cm.

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15. 若不等式 $a x^{2} > x^{2} - x - 1$ 对 $x \in (- \infty ， 0)$ 恒成立，则a的取值范围是．

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16. 有穷数列 ${a_{n}}$ 共有k项，满足 $a_{1} = 27$ ， $a_{2} = 737$ ，且当 $n \in N^{*}$ ， $3 ≤ n ≤ k$ 时， $a_{n} = a_{n - 2} - \frac{n - 1}{a_{n - 1}}$ ，则项数k的最大值为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{s i n B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{s i n A}$ ．

(1)、证明： $A = B$ ．

(2)、若D为BC的中点，从① $A D = 4$ ， ② $c o s C = \frac{1}{4}$ ， ③ $C D = 2$ 这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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18. 2016～2020年广西城乡居民人均可支配收入的柱形图如下图所示．
参考数据： $1.71 \times \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - 12522)}^{2} \approx 21732390$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} \approx 6140$ ， $\sqrt{127090} \approx 356$ ．
附：样本的相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{1} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，
线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的系数 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、不考虑价格因素，求广西2020年农村居民人均可支配收入的年增长率（结果精确到0.1%）．

(2)、现欲了解广西各年城镇居民人均可支配收入y（单位：元）与农村居民人均可支配收入x（单位：元）是否存在较好的线性关系．设广西2016年城镇居民人均可支配收入为 $y_{1}$ 元，农村居民人均可支配收入为 $x_{1}$ 元，2017年对应的数据分别为 $y_{2}$ ， $x_{2}$ ， 2018年对应的数据分别为 $y_{3}$ ， $x_{3}$ ， 2019年对应的数据分别为 $y_{4}$ ， $x_{4}$ ， 2020年对应的数据分别为 $y_{5}$ ， $x_{5}$ ．根据图中的五组数据，得到y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = 1.71 x + m$ ．试问y关于x的线性相关系数r是否大于0.95，并判断y与x之间是否存在较好的线性关系．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为矩形， $A D = 2$ ， $A B = 3$ ， $P A = P D = \sqrt{10}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ． $O$ 是 $A D$ 的中点， $E$ 是 $P B$ 上一点，且 $A E / /$ 平面 $P O C$ ．

(1)、求 $\frac{P E}{P B}$ 的值；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $P O C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - x l n x$ ．

(1)、设 $a = 0$ ．
①求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程．
②试问 $f (x)$ 有极大值还是极小值？并求出该极值．

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， e)$ 上恰有两个零点，求a的取值范围．

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．

(1)、若坐标原点O到直线l的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求△AOB的面积．

(2)、试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + \sqrt{5} c o s t \\ y = 2 + \sqrt{5} s i n t \end{array}$ （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s θ - 3 ρ s i n θ - 1 = 0$ ，直线 $l_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ．

(1)、求C的极坐标方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与C相交于A，B两点，P为直线 $l_{2}$ 上的动点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值．

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23. 已知正数a，b，c满足 $a^{2} + b^{2} + 2 c^{2} = 4$ ．

(1)、若 $a + b + c = 3$ ，证明： $\frac{1}{5} ≤ c ≤ 1$ ．

(2)、若 $a = b$ ，求 $\frac{b^{4} + c^{4}}{b c} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4}}$ 的最小值．

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X	－1	2	4	5
P	0.2	0.35	0.25	0.2