广东省深圳市2023届高三下学期数学4月高考冲刺卷一

试卷更新日期：2023-04-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， B = {x ∣ \frac{1}{9} ⩽ {(\frac{1}{3})}^{x} ⩽ 1 ， x \in Z}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 4}$

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2. 已知复数z满足 $z - i = - \frac{2}{1 + i}$ ，则z在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（）

A、 $384 π$ B、 $392 π$ C、 $398 π$ D、 $404 π$

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4. 已知 $c o s 2 x = - \frac{1}{3}$ ，则 $c o s^{2} (x - \frac{π}{6}) + c o s^{2} (x + \frac{π}{6})$ 的值为（）

A、 $\frac{9}{16}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{13}{20}$ D、 $\frac{17}{24}$

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5. 某班学生的一次的数学考试成绩 $ξ$ （满分：100分）服从正态分布： $ξ ~ N (85 ， σ^{2})$ ，且 $P (83 < ξ < 87) = 0.3$ ， $P (78 < ξ < 83) = 0.12$ ， $P (ξ < 78) =$ （）

A、0.14 B、0.18 C、0.23 D、0.26

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 的左､右两支分别交于 $A ， B$ 两点， $| A F_{1} | + | A F_{2} | = 24 ， | A F_{1} | = | B F_{1} | = 5 λ ， | A B | = 4 λ$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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7. 如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的取值范围是（）

A、 $[28 ， 46]$ B、 $[32 ， 58]$ C、 $[39 ， 55]$ D、 $[42 ， 60]$

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8. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足，①对于互不相等的任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， 2]$ 都有 $f (\frac{x_{1}}{x_{2}}) = f (x_{1}) - f (x_{2})$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ， ② $f (x + 2) = - f (x)$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，③ $y = f (x + 2)$ 的图象关于直线 $x = - 2$ 对称，则 $f (- 10)$ ､ $f (- \frac{9}{2})$ ､ $f (3)$ 的大小关系为（）

A、 $f (- 10) < f (- \frac{9}{2}) < f (3)$ B、 $f (- \frac{9}{2}) < f (3) < f (- 10)$ C、 $f . (- 10) < f (3) < f (- \frac{9}{2})$ D、 $f (3) < f (- 10) < f (- \frac{9}{2})$

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二、多选题

9. 已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $(a + 4 b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 9$ B、 $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 6$ C、 $a^{2} + \frac{5}{2} > 3 a$ D、 $\frac{a}{a^{2} - a + 1} \leq \frac{1}{2}$

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10. 某研究机构为了探究吸烟与肺气肿是否有关，调查了200人.统计过程中发现随机从这200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1.在制定 $2 \times 2$ 列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如图所示的 $2 \times 2$ 列联表，下列结论正确的是（）

患肺气肿
不患肺气肿
合计
吸烟
15
不吸烟
120
合计
200
参考公式与临界值表： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

A、不吸烟患肺气肿的人数为5人 B、200人中患肺气肿的人数为10人 C、 $χ^{2}$ 的观测值 $k = 11.42$ D、按99.9%的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”

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11. 若函数 $f (x) = 2 s i n^{2} (x - \frac{π}{4}) + \sqrt{3} s i n (2 x - \frac{π}{6}) - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 图象关于 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 对称

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - \frac{1}{2} λ x$ （ $λ \in R$ 且 $λ \leq - 2$ ），且 $a = 1 . 7^{0.3}$ ， $b = l o g_{0.3} 1.8$ ， $c = 0 . 9^{0.1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 为R上的增函数 B、 $f (x)$ 无极值 C、 $f (b) < f (c) < f (a)$ D、 $f (a) < f (b) < f (c)$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = | 2 x - 1 | - | 2 x - a |$ 为奇函数，则 $a =$ .

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14. $(x + 2) {(x - 1)}^{3}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为.

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15. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{14 - λ} + \frac{y^{2}}{λ - 6} = 1 (10 < λ < 14)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， F为椭圆C的一个焦点，P为椭圆C上一点，则 $| P F |$ 的最大值为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足： $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{3}$ ， $a_{7}$ 为方程 $x^{2} - 18 x + 65 = 0$ 的两根，且 $a_{7} > a_{3}$ .若对于任意 $n \in N^{*}$ ，不等式 $2^{n} a_{n} (4 - λ) > {(a_{n} - 1)}^{2}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，其公比 $q \neq - 1$ ， $\frac{a_{4} + a_{5}}{a_{7} + a_{8}} = \frac{1}{27}$ ，且 $S_{4} = a_{3} + 62$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，其公比 $q^{'} = \frac{1}{q}$ ， $b_{1} = a_{1}$ ，求证： $T_{n} < 3$ .

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18. 某食品公司在八月十五来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个两种口味的月饼，其中4个五仁月饼和3个枣泥月饼.

(1)、一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率；

(2)、依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次､第2次取到的都是五仁月饼的概率；

(3)、依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率.

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19. 已知a､b､c分别为 $△ A B C$ 三内角A､B､C所对的边，且 $\sqrt{3} a c o s C + a s i n C = \sqrt{3} b$ .

(1)、求A；

(2)、若 $c^{2} = 4 a^{2} - 4 b^{2}$ ，且 $a + b = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ ，求c的值.

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20. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱长为 $\sqrt{2}$ ，底面边长为2，D为AB的中点.

(1)、证明： $C D ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、求二面角 $D - A_{1} C - A$ 的大小；

(3)、求直线CA与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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21. 已知斜率存在的直线 $l$ 过点 $P (1 ， 0)$ 且与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点.

(1)、若直线 $l$ 的斜率为1， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $M$ 的纵坐标为2，求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若点 $Q$ 也在 $x$ 轴上，且不同于点 $P$ ，直线 $A Q ， B Q$ 的斜率满足 $k_{A Q} + k_{B Q} = 0$ ，求点 $Q$ 的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = x l n x + x e^{x} - f (x)$ 有两个极值点，求实数a的取值范围.

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	患肺气肿	不患肺气肿	合计
吸烟	15
不吸烟		120
合计			200

$α$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828