广东省2023届高考数学一模试卷

试卷更新日期：2023-04-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ x (x - 2) < 0} ， N = {x ∣ x - 1 < 0}$ ，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合 ${x ∣ 1 \leq x < 2}$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq 0 ， \\ - {(\frac{1}{2})}^{x} ， x < 0 ， \end{array}$ 若 $f (a) < f (6 - a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 3)$

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4. 如图所示是中国2012-2021年汽车进､出口量统计图，则下列结论错误的是（）

A、2012-2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的 B、从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量 C、2012-2021年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆 D、2012-2021年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差

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5. 在复平面内，已知复数 $z$ 满足 $| z - 1 | = | z + i |$ （ $i$ 为虚数单位），记 $z_{0} = 2 + i$ 对应的点为点 $Z_{0} ， z$ 对应的点为点 $Z$ ，则点 $Z_{0}$ 与点 $Z$ 之间距离的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ 的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（）

A、96种 B、64种 C、32种 D、16种

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0 ， b)$ ，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $| P B | \geq b$ ，则 $C$ 的离心率取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{\sqrt{5} + 1}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{5} + 1}{2} ， + ∞)$ C、 $(1 ， \sqrt{2}]$ D、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$

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8. 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2} + 2$ C、 $2 \sqrt{3} + 2$ D、6

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二、多选题

9. 如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在 $t (s)$ 时刻相对于平衡位置的高度 $h (c m)$ 可以田 $h = 2 s i n (\frac{π}{2} t + \frac{π}{4})$ 确定，则下列说法正确的是（）

A、小球运动的最高点与最低点的距离为 $2 c m$ B、小球经过 $4 s$ 往复运动一次 C、 $t \in (3 ， 5)$ 时小球是自下往上运动 D、当 $t = 6.5$ 时，小球到达最低点

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10. 在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形，若 $S D = A D$ ，则（）

A、 $A C ⊥ S D$ B、 $A C$ 与 $S B$ 所成角为 $60 °$ C、 $B D$ 与平面 $S C D$ 所成角为 $45 °$ D、 $B D$ 与平面 $S A B$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 已知拋物线 $E ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $F$ 与点 $C$ 关于原点对称，过点 $C$ 的直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 和点 $C$ 在点 $B$ 的两侧），则下列命题正确的是（）

A、若 $B F$ 为△ $A C F$ 的中线，则 $| A F | = 2 | B F |$ B、若 $B F$ 为 $∠ A F C$ 的角平分线，则 $| A F | = 6$ C、存在直线 $l$ ，使得 $| A C | = \sqrt{2} | A F |$ D、对于任意直线 $l$ ，都有 $| A F | + | B F | > 2 | C F |$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，对于给定集合 $A$ ，若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} - x_{2} \in A$ 时都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \in A$ ，则称 $f (x)$ 是“ $A$ 封闭”函数.则下列命题正确的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ 是“ $[- 1 ， 1]$ 封闭”函数 B、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 都是“ ${0}$ 封闭”函数 C、若 $f (x)$ 是“ ${1}$ 封闭”函数，则 $f (x)$ 一定是“ ${k}$ 封闭”函数 $(k \in N^{*})$ D、若 $f (x)$ 是“ $[a ， b]$ 封闭”函数 $(a ， b \in N^{*})$ ，则 $f (x)$ 不一定是“ ${a b}$ 封闭”函数

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 4 ， (\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{a} = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 在平面直角坐标系中，等边三角形 $A B C$ 的边 $A B$ 所在直线斜率为 $2 \sqrt{3}$ ，则边 $A C$ 所在直线斜率的一个可能值为.

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15. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上单调递减， $f (x + 2)$ 为偶函数，若 $f (x) = m$ 在 $[0 ， 12]$ 上恰好有4个不同的实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =$ .

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16. 已知动圆 $N$ 经过点 $A (- 6 ， 0)$ 及原点 $O$ ，点 $P$ 是圆 $N$ 与圆 $M ： x^{2} + (y - 4)^{2} = 4$ 的一个公共点，则当 $∠ O P A$ 最小时，圆 $N$ 的半径为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c o s 2 A + c o s 2 B - c o s 2 C = 1 - 2 s i n A s i n B$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $s i n A + s i n B + s i n C$ 的取值范围.

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18. 已知各项都是正数的数列 ${a_{n}}$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n}^{2} = 2 S_{n} - a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、记 $P_{n}$ 是数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和， $Q_{n}$ 是数列 ${\frac{1}{a_{2^{n - 1}}}}$ 的前 $n$ 项和.当 $n \geq 2$ 时，试比较 $P_{n}$ 与 $Q_{n}$ 的大小.

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19. 如图所示的在多面体中， $A B = A D ， E B = E C$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，平面 $B C E ⊥$ 平面 $B C D$ ，点 $F ， G$ 分别是 $C D ， B D$ 中点.

(1)、证明：平面 $A F G$ $/ /$ 平面 $B C E$ ；

(2)、若 $B C ⊥ B D ， B C = B D = 2 ， A B = \sqrt{2} ， B E = \sqrt{5}$ ，求平面 $A F G$ 和平面 $A C E$ 夹角的余弦值.

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20. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.

(1)、若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 $X$ 的分布列和数学期望.

(2)、若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数 $Y$ 的分布列和数学期望.

(3)、如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.

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21. 已知点 $A$ ，点 $B$ 和点 $C$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上不同的三个点.当点 $A$ ，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.

(1)、求椭圆 $C$ 标准方程；

(2)、若 $O$ 为原点，且满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 0$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq (a + 1) x + l n x + 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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