安徽省宣城市2023届高三数学第二次调研测试试卷

试卷更新日期：2023-04-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {a | - 1 < a \leq 3 ， a \in Z}$ ， $N = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${a | - 1 < a \leq 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 设复数 $z$ 满 $z = \frac{1}{1 - i} + i$ ，则 $| z |$ =（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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3. 已知点 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $P (4 ， m)$ 在抛物线 $C$ 上，且 $| P F | = 6$ ，则 $p =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗（如图），斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．如图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，下底面边长为25cm，上底面边长为10cm，侧棱长为15cm，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $1 L = 1000$ $c m^{3}$ ）（）

A、 $1.5 L$ B、 $2.4 L$ C、 $3.4 L$ D、 $5.1 L$

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5. 将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{7}$

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6. 已知 $\sqrt{3} s i n α - s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ，则 $c o s (\frac{4 π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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7. 已知圆锥的底面半径为 $3 c m$ ，高为 $3 \sqrt{3} c m$ ，当其内接正四棱柱的体积最大时，该正四棱柱的外接球的表面积（单位： $c m^{2}$ ）为（）

A、 $19 π$ B、 $21 π$ C、 $35 π$ D、 $36 π$

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8. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ．若 $f (x + 3)$ 为奇函数， $g (\frac{3}{2} + 2 x)$ 为偶函数，且 $g (0) = - 3$ ， $g (1) = 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2023} g (i) =$ （）

A、670 B、672 C、674 D、676

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二、多选题

9. 已知 $3^{x} = 5^{y} = 15$ ，则实数 $x ， y$ 满足（）

A、 $x > y$ B、 $x + y < 4$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$ D、 $x y > 4$

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10. 下列命题中，正确的命题是（）

A、数据1，3，4，5，6，8，10的第60百分位数为5 B、若随机变量 $X ~ N (3 ， σ^{2})$ ， $P (X > 2) = 0.62$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.12$ C、若随机变量 $X ~ B (7 ， \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = k)$ 取最大值时 $k = 3$ 或4 D、某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为10.5

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11. 已知点 $M (0 ， - 2)$ ， $N (1 ， - 1)$ ，且点 $P$ 在圆 $C ： x^{2} - 4 x + y^{2} = 0$ 上， $C$ 为圆心，则下列结论正确的是（）

A、直线 $M N$ 与圆 $C$ 相交所得的弦长为4 B、 $| P M | - | P N |$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ C、 $△ P M N$ 的面积的最大值为2 D、当 $∠ P M N$ 最大时， $△ P M N$ 的面积为1

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (c o s x) + c o s (s i n x)$ ，下列关于该函数的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 B、 $f (x)$ 的一个周期是 $2 π$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最大值为 $s i n 1 + 1$

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三、填空题

13. ${(\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中二项式系数最大的一项是（用数字作答）．

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ ，对任意的 $λ > 0 ， | \vec{a} - λ \vec{b} |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{2^{x}}$ ，则不等式 $2 x f (x) - 3 < 0$ 的解集是．

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16. 设双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 4 a^{2}$ 与双曲线 $E$ 的一个公共点， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则该双曲线的离心率为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为1的等差数列，公差 $d > 0$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} - 8 |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = P D$ ， $P B = P C = B C = 2$ ，二面角 $P - B C - A$ 的大小为 $3 0^{∘}$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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19. 某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向 $M$ ， $N$ 两个目标投掷，先向目标 $M$ 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标 $N$ 连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标 $M$ 的概率为 $\frac{5}{6}$ ，套中目标 $N$ 的概率为 $\frac{4}{5}$ ，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为 $X$ ．

(1)、求小明恰好套中2次的概率；

(2)、求 $X$ 的分布列及数学期望．

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20. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\frac{1 - s i n A}{c o s A} = \frac{1 - c o s 2 B}{s i n 2 B}$ ．

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、求 $\frac{a^{2}}{c^{2}} - \frac{5 a}{4 c c o s B}$ 的最小值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，且离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率之积等于 $- 1$ ，求 $△ O M N$ 的面积的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) + \sqrt{x + 1} - 1$ ．

(1)、若 $f (x) \leq a x$ ，求 $a$ ．

(2)、证明： $0 < x < 1$ ， $(1 + \frac{4}{x}) f (x) < 6$ ．

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