安徽省蚌埠市2023届高三理数第三次教学质量检查考试试卷

试卷更新日期：2023-04-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 2 ， 3 ， 5}$ ， $B = {x | y = \sqrt{(3 - x) (x + 1)}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ C、 ${5}$ D、 ${- 1 ， 3 ， 5}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z {(1 - i)}^{2} = 2$ ，则 $z^{2023} =$ （）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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3. 已知 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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4. 直线 $l ： x + m y + 1 - m = 0$ 与圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、无法确定

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5. 已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（）

A、50% B、32% C、30% D、27%

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6. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的长轴长为（）

A、6 B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ 或 $2 \sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{6}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot c o s x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点，且 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ， $∠ A B C = ∠ C A D$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ，则 $t a n ∠ A B C =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{39}}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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二、多选题

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列 B、数列 ${S_{2 n + 2} - S_{2 n}}$ 是等差数列 C、数列 ${\frac{T_{2 n + 2}}{T_{2 n}}}$ 是等比数列 D、数列 ${l g T_{n}}$ 是等差数列

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10. 已知 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（）

A、若 $x_{1} + x_{2} = 6$ ，那么 $| A B | = 8$ B、若 $| A F | + | B F | = 3$ ，则线段 $A B$ 的中点到 $y$ 轴的距离为 $\frac{1}{2}$ C、若 $△ F A B$ 是以 $F$ 为直角顶点的等腰三角形，则 $| A B | = 4 \sqrt{2} \pm 4$ D、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则直线 $A B$ 的斜率为 $\pm 2 \sqrt{2}$

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11. 已知 $A B$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A$ ， $B$ 的一点， $N$ 为 $S A$ 的中点， $S A = 5$ ，圆锥 $S O$ 的侧面积为 $15 π$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆 $O$ 上存在点 $M$ 使 $M N / /$ 平面 $S B C$ B、圆 $O$ 上存在点 $M$ 使 $A M ⊥$ 平面 $S B C$ C、圆锥 $S O$ 的外接球表面积为 $\frac{625 π}{32}$ D、棱长为 $\sqrt{6}$ 的正四面体在圆锥 $S O$ 内可以任意转动

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12. 已知 $a > b > 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $e^{a - b} > \frac{a}{b}$ B、 $\frac{l n a}{a} > \frac{l n (b + 1)}{b + 1}$ C、 $l o g_{a} (a + 1) > l o g_{b} (b + 1)$ D、 $\frac{a}{b} > \frac{a^{b}}{b^{a}}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， m)$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 3 \vec{b})$ ，则 $m =$ .

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14. 已知 ${(2 x - 1)}^{3} - {(x + 2)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} =$ .

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15. 已知实数 $a > 0 > b$ ，且 $a - b = 5$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{2 - b}$ 的最小值为.

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16. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，且当 $- 1 ≤ x ≤ 0$ 时， $f (x) = 2^{x + 1} - m$ ，则当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) =$ ；若对 $\forall x \in [0 ， 1]$ 都有 $f (- x^{2} + 2 t x + \frac{1}{4}) \geq \sqrt{2} - 2$ ，则实数 $t$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、根据所给数据完成上表，依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？

(2)、社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，这名女生进球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数 $X$ 的分布列和数学期望．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + c o s^{2} ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ .

(1)、若 $ω = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $y = f (x)$ 图象在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 内有且仅有一条对称轴，求 $f (\frac{π}{8})$ 的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2 n + 1} = a_{2 n} + 1$ ， $a_{2 n} = 2 a_{2 n - 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}}$ ，求证： $T_{2 n} < 3$ .

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20. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $E$ ， $F$ 分别在棱 $B C$ ， $C D$ 上，平面 $A B D / /$ 平面 $E F G$ .

(1)、求 $\frac{D F}{C F}$ 的值；

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $D C ⊥ C B$ ，且 $A B = B C = C D = 3$ ，求平面 $E F G$ 与平面 $A C D$ 的夹角的大小.

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21. 已知 $A$ ， $B$ 是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左､右顶点， $M$ 为双曲线上与 $A$ ， $B$ 不重合的点.

(1)、设直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 是定值；

(2)、设直线 $l ： x = 1$ 与直线 $M A$ 交于点 $P$ ， $l$ 与 $x$ 轴交于点 $S$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{Q S} = 2 \vec{S P}$ ，直线 $B Q$ 与双曲线 $E$ 交于点 $N$ （与 $A$ ， $B$ ， $M$ 不重合）.判断直线 $M N$ 是否过定点，若直线 $M N$ 过定点，求出该定点坐标；若直线 $M N$ 不过定点，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 1$ ， $g (x) = l n (x + a)$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求证： $f (x) ≥ g (x)$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 存在两条公切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生		40
女生	30
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828