安徽省安庆市2023届高三数学模拟考试（二模）试卷

试卷更新日期：2023-04-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | \frac{x}{x - 1} \leq 0}$ ， $N = {x | {(\frac{2}{3})}^{x} > 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | x < 0}$ C、 ${x | 0 \leq x < 1}$ D、 ${x | 0 < x < 1}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 2022 + i^{2023}$ （i是虚数单位）， $z$ 的共轭复数是 $\bar{z}$ ，则 $z - \bar{z}$ 的模是（）

A、 $\sqrt{404 4^{2} + 4}$ B、4044 C、2 D、0

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3. 为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组 $[30 ， 40)$ ，第二组 $[40 ， 50)$ ，第三组 $[50 ， 60)$ ，第四组 $[60 ， 70)$ ，第五组 $[70 ， 80)$ ，第六组 $[80 ， 90]$ .对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（）

A、43.5分钟 B、45.5分钟 C、47.5分钟 D、49.5分钟

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4. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ ，且 $| \vec{a} | | \vec{b} | \geq \frac{4}{3}$ ，则夹角 $θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 已知第二象限角 $α$ 满足 $s i n (π + α) = - \frac{2}{3}$ ，则 $s i n 2 β - 2 s i n (α + β) c o s (α - β)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1}^{2} + a_{4}^{2} = 4$ ，则 $a_{2} + a_{3}$ 不可能取的值是（）

A、-3 B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x | l n x | ， x > 0 \\ - x e^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - | x^{2} - k x |$ 恰有3个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- ∞ ， - 1) \cup [1 ， + ∞)$

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8. 一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图）， $O$ 为底面圆的中心， $O_{1}$ 为截面的中心， $A$ 为截面上距离底面最小的点， $A$ 到圆柱底面的距离为1， $B$ 为截面图形弧上的一点，且 $∠ A O_{1} B = 60 °$ ，则点 $B$ 到底面的距离是（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{14 - 2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{14 - \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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二、多选题

9. 将函数 $f (x) = s i n ω x + a c o s ω x (a > 0 ， ω > 0)$ 图象上点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，然后将所得图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x) = 2 c o s (2 x + φ)$ 的图象.则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $g (x)$ 的图象有一条对称轴为 $x = - \frac{π}{12}$ C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{7 π}{6}] (k \in Z)$ D、函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \sqrt{3} ， 2]$

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10. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $G$ ， $E$ ， $P$ ， $H$ 分别是 $△ B C D$ ， $△ A C D$ ， $△ A B D$ ， $△ A B C$ 的重心.则下列命题中正确的有（）

A、 $G E / /$ 平面 $A B D$ B、 $V_{A - G B C} = \frac{1}{3} V_{A - D B C}$ C、四条直线 $A G$ ， $B E$ ， $C P$ ， $D H$ 相交于一点 D、 $A B = 2 G E$

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11. 牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数 $f (x)$ 和数列 ${x_{n}}$ ，若 $(x_{n + 1} - x_{n}) f^{'} (x_{n}) + f (x_{n}) = 0$ ，则称数列 ${x_{n}}$ 为牛顿数列.已知函数 $f (x) = x^{2} - 4$ ，数列 ${x_{n}}$ 为牛顿数列，且 $a_{n} = l n \frac{x_{n} + 2}{x_{n} - 2}$ ， $a_{1} = 1$ ， $x_{n} > 2 (n \in N *)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $x_{1} = \frac{2 e + 2}{e - 1}$ B、 $\frac{x_{n + 1} + 2}{x_{n + 1} - 2} = \frac{{(x_{n} - 2)}^{2}}{{(x_{n} + 2)}^{2}}$ C、 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、 $a_{6} = 32$

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12. 已知 $A$ 、 $B$ 为抛物线 $y = x^{2}$ 上两点，以 $A$ ， $B$ 为切点的抛物线的两条切线交于点 $P$ ，设以 $A$ ， $B$ 为切点的抛物线的切线斜率为 $k_{A}$ ， $k_{B}$ ，过 $A$ ， $B$ 的直线斜率为 $k_{A B}$ ，则以下结论正确的有（）

A、 $k_{A}$ ， $k_{A B}$ ， $k_{B}$ 成等差数列； B、若点 $P$ 的横坐标为 $\frac{1}{2}$ ，则 $k_{A B} = \frac{1}{2}$ ； C、若点 $P$ 在抛物线的准线上，则 $△ A B P$ 不是直角三角形； D、若点 $P$ 在直线 $y = 2 x - 2$ 上，则直线 $A B$ 恒过定点；

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三、填空题

13. 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为.

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14. 在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $A A_{1}$ 上一点，且 $A E = 1$ .过三点 $E$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的平面截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为.

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15. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $(a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $x$ 轴上方的焦点 $F_{1}$ 的直线与双曲线上支交于 $M$ ， $N$ 两点，以 $N F_{2}$ 为直径的圆经过点 $M$ ，若 $| M F_{2} |$ ， $| M N |$ ， $| N F_{2} |$ 成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - a x$ ，其中 $a > 0$ ，若不等式 $f^{'} (x) \geq 3 (x^{2} - \frac{1}{x}) l n x$ 对任意 $x > 1$ 恒成立，则 $a$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{9} = 81$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{S_{n}} + \frac{1}{S_{n + 1}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 b s i n C \cdot t a n \frac{A}{2} = a$ .

(1)、若角 $B = \frac{π}{6}$ ，求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 4$ ， $c o s 2 A = \frac{1}{8}$ ，求 $b$ .

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $C D = 2 A B = 2 A D = 2$ ，侧面 $S C D$ 是等边三角形，侧面 $S B C$ 是等腰直角三角形， $S B = B C$ .

(1)、求证： $S B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P$ 是棱 $S C$ 上的一点，且 $S A / /$ 平面 $P B D$ .求平面 $P B D$ 与平面 $A B C D$ 所成二面角的余弦值.

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20. 为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{6}$ ，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ .

(1)、设小A每天获得的得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列、数学期望和方差；

(2)、若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A赢得多少局的比赛概率最大？

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别为椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的三个顶点， $F (c ， 0)$ 为其右焦点，直线 $A B$ 与直线 $C F$ 相交于点 $T$ .

(1)、若点 $T$ 在直线 $l ： x = \frac{a^{2}}{c}$ 上，求椭圆 $E$ 的离心率；

(2)、设直线 $C F$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $D$ ， $M$ 是线段 $C D$ 的中点，椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，试探究 $\frac{| T M |}{| C D |}$ 的值是否为定值（与 $a$ ， $b$ 无关）.若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x + b x^{2} e^{1 - x}$ ， $a$ ， $b \in R$ . $e \approx 2.71828 ⋯$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程是 $y = x + l n 2$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、若 $a = e$ ，且 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 恰有两个零点，求 $b$ 的取值范围.

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