2023年高三数学解三角形二轮专题复习

试卷更新日期：2023-04-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，且函数 $y = f (x)$ 恰有两个极大值点在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ ，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(7 ， 13]$ B、 $[7 ， 13)$ C、 $(7 ， 10]$ D、 $[7 ， 10)$

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2. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题 $p ： \frac{1 - t a n^{2} \frac{A}{2}}{1 + t a n^{2} \frac{A}{2}} + \frac{b c o s (A + C)}{a} = 0$ ，命题 $q ： △ A B C$ 为等腰三角形．则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $f (- \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - \sqrt{2} b c$ ，且 $B = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 不可能为（）

A、等腰直角三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

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5. 在平面直角坐标系中，已知点 $O (0 ， 0) ， \vec{O A} = (1 ， 2) ， \vec{O B} = (3 ， 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{A B} | = \sqrt{5}$ B、 $△ A O B$ 是直角三角形 C、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(1 ， \frac{1}{3})$ D、与 $\vec{O B}$ 垂直的单位向量的坐标为 $(- \frac{\sqrt{10}}{10} ， \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ 或 $(\frac{\sqrt{10}}{10} ， - \frac{3 \sqrt{10}}{10})$

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6. 在 $Δ ABC$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $Δ ABC$ 的面积为 $S$ ，下列与 $Δ ABC$ 有关的结论，正确的是（）

A、若 $Δ ABC$ 为锐角三角形，则 $sin A > cos B$ B、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ C、若 $a cos A = b cos B$ ，则 $Δ ABC$ 一定是等腰三角形 D、若 $Δ ABC$ 为非直角三角形，则 $tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C$

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7. 已知 $A (c o s α ， s i n α)$ ， $B (c o s β ， s i n β)$ ， $M (c o s γ ， s i n γ)$ 是单位圆上的三点，满足 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π$ ， $0 < γ < 2 π$ ，且 $\vec{O M} = λ (\vec{O A} + \vec{O B})$ ，其中 $λ$ 为非零常数，则下列结论一定正确的有（）

A、若 $λ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $β = α + \frac{π}{2}$ B、若 $λ = 1$ ，则 $β = α + \frac{2}{3} π$ C、 $s i n γ = s i n \frac{α + β}{2}$ D、 $s i n γ = \frac{s i n α + s i n β}{2}$

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三、填空题

8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若角 $θ$ 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $s i n (2 θ - \frac{π}{2})$ 的值为.

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9. 已知函数 $f (x) = 4 s i n x c o s x - 2 s i n^{2} x + 2 c o s^{2} x + 1$ ，则下列说法中正确的是．
① $f (x)$ 一条对称轴为 $x = \frac{π}{8}$ ；
②将 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；
③若 $f (\frac{x}{2}) = \sqrt{5} + 1$ ，则 $t a n x = 4 \pm \sqrt{15}$ ；
④若函数 $y = f (\frac{ω x}{2}) (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， π]$ 上恰有2个极大值点，则实数 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{17}{4} ， \frac{25}{4})$ ．

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10. 神舟十三号三位航天英雄在太空出差180余天后，顺利返回地面．如图，返回舱达到一定高度时，近似垂直落地，在下落过程中的某时刻位于点 $C$ ，预计垂直落在地面点 $D$ 处，在地面同一水平线上的A、B两个观测点，分别观测到点 $C$ 的仰角为15°，45°，若 $| A B | = 24$ 千米，则点 $C$ 距离地面的高度 $| C D |$ 约为千米（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）．

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四、解答题

11. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，满足 $2 b c o s C = 2 a + c$ ， $D$ 是边 $A C$ 上的点，且 $B D = 2 ， ∠ D B C = \frac{π}{6}$ .

(1)、求 $∠ A B C$ ；

(2)、求 $S_{△ A B C}$ 的最小值.

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12. 近期，宁波市多家医院发热门诊日接诊量显著上升，为了应对即将到来的新冠病毒就诊高峰，某医院计划对原有的发热门诊进行改造，如图所示，原发热门诊是区域 $O D B C$ （阴影部分），以及可利用部分为区域 $O A D$ ，其中 $∠ O C B = ∠ C O A = \frac{π}{2}$ ， $O C = 30 \sqrt{3}$ 米， $B C = 30$ 米，区域 $O B C$ 为三角形，区域 $O A B$ 为以 $O A$ 为半径的扇形，且 $∠ A O D = \frac{π}{6}$ .

(1)、为保证发热门诊与普通诊室的隔离，需在区域 $O A B C$ 外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；

(2)、在可利用区域 $O A D$ 中，设置一块矩形 $H G I F$ 作为发热门诊的补充门诊，求补充门诊面积最大值.

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13. 在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $s i n^{2} A + s i n^{2} C + s i n A s i n C = s i n^{2} B$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．

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14. 已知 $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ ， $s i n x + c o s x = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $s i n x c o s x$ 的值：

(2)、求 $s i n (2 x - \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3} c o s^{2} (x - \frac{π}{6}) - \sqrt{3}$ 的值．

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15. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $s i n (B - C) t a n A = s i n B s i n C$ ．

(1)、证明： $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 为定值；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ， $c o s C = \frac{3}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $a c o s C + \frac{1}{2} c = b$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $c - \frac{1}{2} b$ 的取值范围.

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