四川省南充市2023年中考数学一诊试卷

试卷更新日期：2023-04-13 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。）

1. $- 3 - (- 2)$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、5 D、-5

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2. 我国古代数学家祖冲之推算出 $π$ 的近似值为 $\frac{355}{113}$ ，它与 $π$ 的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（）

A、 $3 \times 1 0^{- 7}$ B、 $0.3 \times 1 0^{- 6}$ C、 $3 \times 1 0^{- 6}$ D、 $3 \times 1 0^{7}$

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3. 如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中， $∠ 2 - ∠ 1 =$ （）

A、 $60 °$ B、 $75 °$ C、 $90 °$ D、 $105 °$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $2 x^{2} + 3 x^{3} = 5 x^{5}$ B、 ${(- 2 x)}^{3} = - 6 x^{3}$ C、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ D、 $(3 x + 2) (2 - 3 x) = 4 - 9 x^{2}$

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5. 如图， $⊙ O$ 与正五边形 $A B C D E$ 的两边 $A E ， C D$ 相切于 $A ， C$ 两点，则 $∠ A O C$ 的度数是（）

A、 $144 °$ B、 $130 °$ C、 $129 °$ D、 $108 °$

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6. 垃圾分类利国利民，某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：
①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率；
②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表；
③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比.
正确统计步骤的顺序应该是（）

A、②→③→① B、②→①→③ C、③→①→② D、③→②→①

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7. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为 $30 °$ ，则旗杆的高度约为（）

A、 $15 \sqrt{3}$ 米 B、 $(37 - 15 \sqrt{3}) 米$ C、 $(45 - 15 \sqrt{3}) 米$ D、22.5米

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8. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $D E ⊥ A B$ ， $s i n C = \frac{4}{5}$ ，则 $c o s ∠ D B E$ 的值是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ，将直线 $y = x$ 沿 $y$ 轴向上平移 $b$ 个单位长度，交 $x$ 轴于点 $C$ ，交反比例函数图象于点 $B$ ，若 $B C = 2 O A$ ，则 $b$ 的值为（）

A、1.5 B、2 C、2.5 D、3

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象如图，下列结论：
$① a b c > 0$ ； $② 2 a + b = 0$ ； $③$ 当 $m \neq 1$ 时， $a + b > a m^{2} + b m$ ； $④ a - b + c > 0$ ； $⑤$ 若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ .

其中正确的有（）

A、①②③ B、①②④ C、③④⑤ D、②③⑤

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 计算 $\frac{a + 1}{a + 2} + \frac{1}{a + 2}$ 的结果是 .

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12. 在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 1)$ 与点 $B$ 关于 $x$ 轴对称，则点 $B$ 的坐标是 .

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13. 如图，是由四个直角边分别为3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，小亮随机的往大正方形区域内投针一次，则针扎在阴影部分的概率是.

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14. 若将半径为8，圆心角为 $112.5 °$ 的扇形围成一个圆锥体，则圆锥体底面圆的半径最大为 .

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15. 点 $P (a ， 9)$ 在函数 $y = 4 x^{2} - 3$ 的图象上，则代数式 $(2 a + 3) (2 a - 3)$ 的值等于 .

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别是线段 $A C$ ， $A B$ 上的两个动点，若 $A D = 5$ ， $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ，则 $B M + M N$ 的最小值为 .

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三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。）

17. 计算： $2 c o s 45 ° + | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt[3]{8} + (- 1)^{2023}$ .

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18. 如图，点 $A$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一条直线上， $B C = E F$ ， $A F = D C$ ， $∠ B C D = ∠ E F A$ .
求证： $∠ A = ∠ D$ .

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19. 在学习“一次函数的图象和性质”时，李老师设计了一个数学活动 $.$ 有 $A$ 、 $B$ 两组卡片，每组各3张，每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同 $. A$ 组卡片上分别写有0，2，3； $B$ 组卡片上分别写有-5，-1，1甲从 $A$ 组中随机抽取一张记为 $x$ ，乙从 $B$ 组中随机抽取一张记为 $y$ .

(1)、若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是-1，得到的坐标在函数 $y = k x - 5$ 的图象上，求 $k$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，求甲、乙随机抽取的数得到坐标 $(x ， y)$ 恰在函数 $y = k x - 5$ 的图象上的概率 $. ($ 请用树形图或列表法求解 $)$

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20. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a (1 - x^{2}) - 2 \sqrt{2} b x + c (1 + x^{2}) = 0$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $R t △ A B C$ 的三条边，其中 $∠ C = 90 °$ .

(1)、求证此方程有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两个根是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ ，求 $a$ ： $b$ ： $c$ .

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21. 如图，点 $A$ 在第一象限， $A C ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ， $O A = 2 \sqrt{5}$ ， $t a n A = \frac{1}{2}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过 $O A$ 的中点 $B$ .

(1)、求 $k$ 值；

(2)、若直线 $y = - x + b$ 与反比例函数图象在第一象限有交点，求 $b$ 的取值范围.

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22. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $C D$ 为 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 的直线交 $C D$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $A D$ ，且 $A D = D E$ ， $∠ D A E = ∠ A C D$ .

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 2$ ， $∠ B = 60 °$ ， $∠ B A C = 75 °$ ，求 $\frac{B C}{A B}$ 的值.

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23. 某批发市场批发甲、乙两种水果，甲种水果的销售利润 $y_{甲} ($ 万元 $)$ 与进货量 $x ($ 吨 $)$ 近似满足函数关系 $y_{甲} = 0.5 x$ ；乙种水果的销售利润 $y_{乙} ($ 万元 $)$ 与进货量 $x ($ 吨 $)$ 近似满足函数关系 $y_{乙} = a x^{2} + b x ($ 其中 $a \neq 0$ ， $a$ ， $b$ 为常数 $)$ ，且进货量 $x$ 为 $1$ 吨时，销售利润 $y_{乙}$ 为1.4万元；进货量 $x$ 为2吨时，销售利润 $y_{乙}$ 为2.6万元.

(1)、求 $y_{乙} ($ 万元 $)$ 与 $x ($ 吨 $)$ 之间的函数关系式；

(2)、如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为 $t$ 吨，销售完毕，这两种水果所获最大利润是多少？

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，点 $E$ 是 $B C$ 延长线一点，连接 $D E$ ， $B F$ 垂直平分 $D E$ ，垂足为 $F$ ，点 $G$ 在 $B E$ 上，点 $H$ 在 $A B$ 上，且 $G H / / D E$ .

(1)、若 $B C = 3$ ， $C E = 2$ ，求 $D F$ ；

(2)、若 $G E = A D + B G$ ，求证： $G H = E F$ .

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25. 抛物线 $y = a x^{2} - 4$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点，且 $O A = O B$ ，直线 $E C$ 过点 $E (4 ， - 1)$ ， $C (0 ， - 3)$ ，点 $D$ 是线段 $O A ($ 不含端点 $)$ 上的动点，过 $D$ 作 $P D ⊥ x$ 轴交抛物线于点 $P$ ，连接 $P C$ 、 $P E$ .

(1)、求抛物线与直线 $C E$ 的解析式；

(2)、求证： $P C + P D$ 为定值；

(3)、在第四象限内是否存在一点 $Q$ ，使得以 $C$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $Q$ 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出 $Q$ 点坐标；若不存在，请说明理由.

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