广西壮族自治区贵港市港北区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-04-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列是二元一次方程的是（）

A、 $\frac{x}{3} - \frac{2}{y} = y + 5 x$ B、 $3 x = 2 y$ C、 $x - y^{2} = 0$ D、 $2 x - 3 y = x y$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $(- a + b) (a + b) = b^{2} - a^{2}$ C、 $(a^{3})^{4} = a^{7}$ D、 $a^{3} + a^{5} = a^{8}$

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3. 计算 ${(- x^{2} y^{3})}^{3} \cdot (- x^{2} y^{2})$ 的结果是（）

A、 $- x^{7} y^{13}$ B、 $x^{3} y^{3}$ C、 $x^{8} y^{11}$ D、 $- x^{7} y^{8}$

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4. 如果多项式 $x^{2} + a x + b$ 可因式分解为 $(x - 1) (x + 2)$ ，则a、b的值为（）

A、 $a = 1$ ， $b = 2$ B、 $a = 1$ ， $b = - 2$ C、 $a = - 1$ ， $b = - 2$ D、 $a = - 1$ ， $b = 2$

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5. 已知 $a = 8 1^{31}$ ， $b = 2 7^{41}$ ， $c = 9^{61}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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6. 如果 $(x + 1) (2 x + m)$ 的乘积中不含x一次项，则m为（）

A、-2 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 若 $| x + y - 3 |$ 与 ${(2 x + 3 y - 8)}^{2}$ 互为相反数，则 $3 x + 4 y =$ （）

A、11 B、9 C、7 D、5

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8. 若 $a - b = 1$ ， $a b = 2$ ，则 ${(a + b)}^{2}$ 的值为（）

A、-9 B、9 C、 $\pm 9$ D、3

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9. 代数式 $3 x^{2} - 4 x + 6$ 的值为9，则 $x^{2} - \frac{4}{3} x + 6$ 的值为（）

A、 $7$ B、 $18$ C、 $12$ D、 $9$

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10. 下列因式分解正确的是（）

A、x²y²-z²＝x²（y+z）（y-z） B、-x²y-4xy+5y＝-y（x²+4x+5） C、（x+2）²-9＝（x+5）（x-1） D、9-12a+4a²＝-（3-2a）²

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11. 已知m²-m-1=0，则计算：m⁴-m³-m+2的结果为（）

A、3 B、-3 C、5 D、-5

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12. 已知 $a = m + 2020$ ， $b = m + 2021$ ， $c = m + 2022$ ，则代数式 $2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 a c$ 的值为（）

A、4 B、10 C、8 D、6

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二、填空题

13. 计算： $202 1^{2} - 2020 \times 2022 =$ .

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14. 若 $2 x + 5 y - 4 = 0$ ，则 $4^{x} \cdot 3 2^{y} =$ .

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15. 已知x²－2（m＋3）x＋9是一个完全平方式，则m＝．

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16. 如果 $4 m + n = 90$ ， $2 m - 3 n = 10$ ，那么 ${(m + 2 n)}^{2} - {(3 m - n)}^{2} =$ .

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17. 已知 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 13 = 0$ ，则 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$ =.

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18. 已知方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + y = m - 1 \end{array}$ 当m＝时，x比y大2.

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 ${(- 2 x^{2})}^{3} + 4 x^{3} \cdot x^{3}$ .

(2)、 $(a + 3) (a - 1) + a (a - 2)$ ；

(3)、 $(x + 3) (x - 3) - {(x + 3)}^{2}$ ；

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20. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 3 ， \\ 3 x - 5 y = 11 ； \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} \frac{x - y}{2} - \frac{x + y}{4} = - 1 ， \\ 3 (x + y) - 2 (2 x - y) = 8 . \end{array}$

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21. 因式分解：

(1)、 $x^{2} (a - b) + 4 y^{2} (b - a)$ ；

(2)、 $2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x$ .

(3)、 ${(m^{2} - 4 m)}^{2} + 8 (m^{2} - 4 m) + 16$ .

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22. 先化简，再求值：a(a－3b)＋(a＋b)²－a(a－b)，其中a＝1，b＝- $\frac{1}{2}$ .

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23. 定义运算“*”，规定 $x * y = a x^{2} + b y$ ，其中a，b为常数，且 $1 * 2 = 5$ ， $2 * 1 = 6$ ，求 $2 * 3$ 的值.

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24. 在抗击新冠肺炎疫情期间，各省市积极组织医护人员支援武汉．某市组织医护人员统一乘车去武汉，若单独调配45座客车若辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，并空出15个座位．

(1)、该市有多少医护人员支援武汉？

(2)、若同时调配 $45$ 座和 $30$ 座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？

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25. （阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用.
例如：①用配方法因式分解：a²+6a+8.
解：原式＝a²+6a+9-1
＝（a+3）²-1
＝（a+3-1）（a+3+1）
＝（a+2）（a+4）.
②求x²+6x+11的最小值.
解：原式＝x²+6x+9+2
＝（x+3）²+2.
由于（x+3）²≥0，
所以（x+3）²+2≥2，
即x²+6x+11的最小值为2.
请根据上述材料解决下列问题：

(1)、在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a²+4a+；

(2)、用配方法因式分解：a²-12a+35；

(3)、求x²+8x+7的最小值.

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26. 在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；
根据课堂学习的经验，解决下列问题：

在一个边长为a 的正方体中挖出一个边长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为 $b^{2} (a - b)$ ， $a b (a - b)$ ， $a^{2} (a - b)$ ．

(1)、分解因式： $a^{2} (a - b) + a b (a - b) + b^{2} (a - b) =$ ；

(2)、请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有 $a ， b$ 的代数式表示）
①；

②；

思考：类比平方差公式，你能得到的等式为；

(3)、应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解： $x^{3} - 125$ ；

(4)、拓展：已知 $a - 2 b = 6 ， a b = - 2$ ，你能求出代数式 $a^{4} b - 8 a b^{4}$ 的值为．

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