2023年北师大版数学七年级下学期期中考试模拟试卷（2）【范围：1-4章】

试卷更新日期：2023-04-12 类型：期中考试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $3 b^{4} \cdot 2 b^{4} = 6 b^{4}$ B、 $5 a^{5} \cdot 3 a^{3} = 15 a^{15}$ C、 $3 a^{2} + 4 a^{2} = 7 a^{4}$ D、 $3 a^{9} \div 2 a^{9} = \frac{3}{2}$

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3. 若 $x + y = 3$ ， $x - y = 1$ ，则 $x^{2} - y^{2}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、-3

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4. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）

A、2cm，3cm，5cm B、7cm，4cm，2cm C、3cm，4cm，5cm D、3cm，4cm，8cm

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5. 如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条 $B D$ 固定长方形门框 $A B C D$ ，使其不变形，这样做的数学根据是（）

A、两点确定一条直线 B、两点之间，线段最短 C、同角的余角相等 D、三角形具有稳定性

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6. 如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）

A、∠1＝∠2 B、∠3＝∠4 C、∠3+∠5＝180° D、∠2＝∠3

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7. 根据实验结果表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 $y (c m)$ 与所挂的物体的重量 $x (k g)$ 间有下表的关系，下列说法错误的是（）
$x (k g)$
0
1
2
3
4
$y (c m)$
20
21
22
23
24

A、 $x$ 与 $y$ 都是变量，且 $x$ 是自变量， $y$ 是因变量 B、弹簧不挂重物时的长度为 $0 c m$ C、随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长 D、所挂物体的重量每增加 $1 k g$ ，弹簧长度增加 $1 c m$

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8. 如图，向高为H的圆柱形空水杯中注水，表示注水量ｙ与水深ｘ的关系的图象是下面哪一个？（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE=120°，则图1中的∠DEF的度数是（）

A、30° B、20° C、40° D、15°

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10. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 ${(a + b)}^{n}$ （n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将图称为“杨辉三角”.
${(a + b)}^{0} = 1$

${(a + b)}^{1} = a + b$

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$

${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$

……

则 ${(a + b)}^{9}$ 展开式中所有项的系数和是（）

A、128 B、256 C、512 D、1024

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二、填空题（每空3分，共15分）

11. 如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的．

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12. 若 $y^{2} + k y + 49$ 是一个完全平方式，则k的值为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点D是边 $B C$ 上一动点，若 $A C = 4$ ， $B C = 15$ ， $B D = x$ ，则 $△ A C D$ 的面积S与x之间的关系式为．

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14. 如图，桌面上放置一个等腰直角△ABC，直角顶点C顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为 $5 c m$ 和 $3 c m$ ，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE的长度为 $c m$ ．

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15. 某物流公司的快递车和货车每天沿同一条路线往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟.如图所示，表示货车距离A地的路程y（单位：h）与所用时间x（单位h）的图象，其间在B地装卸货物2h.已知快递车比货车早1h出发，最后一次返回A地比货车晚1h.若快递车往返途中速度不变，且在A、B两地均不停留，则两车在往返途中相遇的次数为次.

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三、解答题（共7题，共55分）

16. 先化简，再求值：
$[(x + 2 y) (x - 2 y) - {(2 x - y)}^{2} - (x^{2} - 5 y^{2})] \div (- 2 x)$ ，其中 $x$ 、 $y$ 满足 $2^{3 x} \div 2^{3 y} = 8$ .

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17. 如图，在△ABC中，∠A= $4 0^{∘}$ ， ∠B= $7 2^{∘}$ ， CD是AB边上的高；CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度数.

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18. 如图，AB∥CD，∠1＝∠2.

(1)、试说明∠3＝∠4；

(2)、若∠BAD＝∠BDA，且∠EBF＝110°，求∠ADC的度数.

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19.

(1)、填空：
$(a - b) (a + b) =$ ；
$(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) =$ ；
$(a - b) (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3}) =$ ；
……
$(a - b) (a^{2022} + a^{2021} b + ⋯ + a b^{2021} + b^{2022}) =$ ．

(2)、猜想：
$(a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ⋯ + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) =$ （其中n为正整数，且 $n ≥ 2)$ ．

(3)、利用（2）中猜想的结论计算： $2^{9} - 2^{8} + 2^{7} - ⋯ + 2^{3} - 2^{2} + 2$ ．

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20. 如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，BC＝8，AD＝4，点P为边BC上一动点，连接AP，随着BP长度的变化，△ACP的面积也在变化．

(1)、在这个变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？

(2)、若设BP＝x，△ACP的面积为y，请写出y与x的关系式；

(3)、当BP $= \frac{1}{2}$ AD时，求△ACP的面积．

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21. 图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．

(1)、请用两种不同的方法，求图b中阴影部分的面积：
方法1：；方法2：；

(2)、观察图b，写出代数式 $(m + n)^{2}$ ， $(m - n)^{2}$ ， $m n$ 之间的等量关系，并通过计算验证；

(3)、根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若 $2 a + b = 7$ ， $a b = 3$ ，求 $(2 a - b)^{2}$ 的值．

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22. 如图1，已知直线 $P Q ∥ M N$ ，点A在直线PQ上，点B，C在直线MN上，连接AB，AC， $∠ P A B = 50 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， AD平分 $∠ P A C$ ， BD平分 $∠ A B C$ ， AD与BD相交于点D.

(1)、求 $∠ A D B$ 的度数；

(2)、若将图1中的线段AC沿MN向右平移到 $A_{1} C_{1}$ ，如图2，此时 $A_{1} D$ 平分 $∠ A A_{1} C_{1}$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C_{1}$ ， $A_{1} D$ 与BD相交于点D， $∠ P A B = 50 °$ ， $∠ A_{1} C_{1} B = 30 °$ ，求 $∠ A_{1} D B$ 的度数；

(3)、若将图1中的线段AC沿MN向左平移到 $A_{1} C_{1}$ ，如图3，其他条件与（2）相同，求此时 $∠ A_{1} D B$ 的度数.

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$x (k g)$	0	1	2	3	4
$y (c m)$	20	21	22	23	24