内蒙古呼和浩特市2023届高三理数第一次质量数据监测理试卷

试卷更新日期：2023-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2} ， B = {- 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， - 1 ， 1 ， 2}$

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2. 复数 $z$ 满足 $(3 - 4 i) \cdot z = | 4 - 3 i |$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$

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3. 已知 $m, n$ 是平面 $α$ 内的两条相交直线，且直线 $l ⊥ n$ ，则“ $l ⊥ m$ ”是“ $l ⊥ α$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质量为X，若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则买一个面包的质量大于900g的概率为（）
（附：①随机变量 $η$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $(μ - σ \leq η \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq η \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq η \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ；）

A、0.84135 B、0.97225 C、0.97725 D、0.99865

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $4 a_{1}$ ， $\frac{1}{2} a_{3}$ ， $3 a_{2}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{2021} - a_{2022}}{a_{2022} - a_{2023}} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ 或 $- 1$ B、4 C、-1 D、 $\frac{1}{4}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，D是BC边的中点，且 $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定

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7. 从5名女生2名男生中任选3人参加学校组织的演讲比赛，则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} f (x + 2) ， x \geq 0 \\ h (x) ， x < 0 \end{array}$ 的图象关于原点对称，且 $f (5) = 1$ ，则 $h (- 2022) + h (- 2023) + h (- 2024) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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9. 将函数 $y = 2 s i n ω x (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{ϕ}{ω} (0 < ϕ \leq \frac{π}{2})$ 个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数 $y = g (x)$ 的图象，且 $y = g (x)$ 的图象与直线 $y = 1$ 相邻两个交点的距离为 $π$ ，若 $g (x) > - 1$ 对任意 $x \in (- \frac{π}{12} ， \frac{π}{3})$ 恒成立，则 $ϕ$ 的取值范围是

A、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ B、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$

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10. 盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长6cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2} c m$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4} c m$ C、 $2 \sqrt{6} c m$ D、 $3 \sqrt{6} c m$

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11. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0)$ ）的左焦点 $F_{1} (- c ， 0) (c > 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{a^{2}}{4}$ 的切线，切点为 $E$ ，直线 $F_{1} E$ 交双曲线右支于点 $P$ ，若 $\vec{O E} = \frac{1}{2} (\vec{O F_{1}} + \vec{O P})$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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12. 已知 $a = e^{π} ， b = π^{e} ， c = {(\sqrt{2})}^{e π}$ ，则这三个数的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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二、填空题

13. “二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字0和1组成，比如：二进制数 $01 1_{(2)}$ 化为十进制的计算公式如下 $01 1_{(2)} = 0 × 2^{2} + 1 × 2^{1} + 1 × 2^{0} = 3_{(10)}$ ，若从二进制数 $1 1_{(2)}$ 、 $0 0_{(2)}$ 、 $1 0_{(2)}$ 、 $0 1_{(2)}$ 中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于2的概率为．

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14. 四边形ABCD为平行四边形，且 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $\vec{D F} = \frac{2}{3} \vec{F C}$ ，若 $\vec{A F} = λ \vec{A C} + μ \vec{D E}$ ，则 $λ + μ$ 的值为．

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15. 抛物线 $C_{1} ： y = \frac{1}{2 p} x^{2} (p > 0)$ 的焦点与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的右焦点的连线交 $C_{1}$ 于第一象限的点M，若 $C_{1}$ 在点M处的切线平行于 $C_{2}$ 的一条渐近线，则 $p =$ ．

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16. 设点 $P$ 为函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 a x$ 与 $g (x) = 3 a^{2} l n x + 2 b (a > 0)$ 图象的公共点，以 $P$ 为切点可作直线 $l$ 与两曲线都相切，则实数 $b$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）

(1)、应收集多少位女生样本数据？

(2)、根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为： $[0 ， 2]$ ， $(2 ， 4]$ ， $(4 ， 6]$ ， $(6 ， 8]$ ， $(8 ， 10]$ ， $(10 ， 12]$ ．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．

(3)、视样本数据的频率为概率，现从全校取4名学生，记 $X$ 为这四名学生中运动时间超过4小时的人数，求 $X$ 的分布列以及数学期望．

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $A B$ ， $A P$ ， $P D$ 的中点．

(1)、证明： $P C ∥$ 平面 $E F G$ ；

(2)、若 $P C = P D = C D = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = A D = A P = 2$ ，求 $P D$ 与平面 $E F G$ 所成角的大小．

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19. 给出以下条件：① $a_{2}$ ， $a_{3} + 2$ ， $a_{6} + 4$ 成等比数列；② $S_{2}$ ， $a_{6}$ ， $S_{4} + 4$ 成等比数列；③ $\frac{1}{a_{5}}$ 是 $\frac{1}{S_{2}}$ 与 $\frac{1}{S_{5}}$ 的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．
已知单调递增的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， ____．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (2 ， 0)$ ，且椭圆经过点 $M (\sqrt{3} ， - 1)$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设A、B是x轴上的两个动点，且 $| A M | = | B M |$ ，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均不同于M），证明：直线PQ的斜率为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 4 + a l n x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有2个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求证： $\frac{f (x_{1})}{x_{2}} + x_{1}^{2} > \frac{3}{4}$ .

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22. 如图，在极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 是以 $C_{1} (2 ， 0)$ 为圆心的半圆，曲线 $C_{2}$ 是以 $C_{2} (1 ， \frac{π}{2})$ 为圆心的圆，曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 都过极点O．

(1)、分别写出半圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $l ： θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ 与曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别交于M、N两点（异于极点O），P为 $C_{2}$ 上的动点，求 $△ P M N$ 面积的最大值．

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23. 已知 $f (x) = | x - 2 | + | x + 1 |$ ．

(1)、解不等式： $f (x) \leq 6$ ；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为m，若 $a + b + c = m$ ，求 $(a + 1)^{2} + (b + 2)^{2} + (c + 3)^{2}$ 的最小值．

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